Номер 19, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 19, страница 291.

19 Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {х₁; у₁} и {х₂; у₂}.

19

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов можно вывести из определения их скалярного произведения.

Пусть даны два ненулевых вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2\}$.

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними. Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Два вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$. Косинус угла $90^\circ$ равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Следовательно, если ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, так как один из множителей (косинус) равен нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(90^\circ) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0$

В координатной форме скалярное произведение векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Приравнивая координатное выражение для скалярного произведения к нулю, мы получаем искомое условие перпендикулярности. Два ненулевых вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений их соответствующих координат равна нулю.

Ответ: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.