Номер 12, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 12, страница 291.

Условие.

12 Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Определить высоту предмета, основание которого недоступно (например, дерева на другом берегу реки или здания за забором), можно с помощью тригонометрического метода, который требует измерения углов и одного расстояния на доступной территории. Метод основан на решении системы уравнений, полученных из рассмотрения прямоугольных треугольников.

Пошаговый алгоритм действий

Сначала выберите на доступной местности две точки, $A$ и $B$, расположенные на одной прямой с основанием предмета. Важно, чтобы из этих точек была видна вершина предмета. Затем с помощью рулетки или дальномера измерьте расстояние $d$ между точками $A$ и $B$ ($d = AB$). После этого, находясь в точке $A$, с помощью угломерного инструмента (например, теодолита или эклиметра) измерьте угол возвышения $\alpha$ — это угол между горизонталью и направлением на вершину предмета. Далее перейдите в точку $B$ и аналогично измерьте угол возвышения $\beta$. Наконец, используя полученные данные (расстояние $d$ и углы $\alpha$ и $\beta$), вычислите высоту предмета $H$ по формуле.

Вывод формулы и расчет

Пусть $H$ — искомая высота предмета $CD$ (где $C$ — вершина, а $D$ — недоступное основание). Точки наблюдения $A$ и $B$ лежат на одной прямой с точкой $D$. Для определенности предположим, что точка $A$ находится дальше от предмета, чем точка $B$. Расстояние между ними равно $AB = d$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ с катетами $AD$ и $CD=H$, и $\triangle BDC$ с катетами $BD$ и $CD=H$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

В $\triangle ADC$: $\tan \alpha = \frac{H}{AD}$, откуда $AD = \frac{H}{\tan \alpha} = H \cdot \cot \alpha$.

В $\triangle BDC$: $\tan \beta = \frac{H}{BD}$, откуда $BD = \frac{H}{\tan \beta} = H \cdot \cot \beta$.

Расстояния $AD$ и $BD$ связаны через известное расстояние $d$: $AD = BD + d$.

Подставим выражения для $AD$ и $BD$ в это равенство:

$H \cdot \cot \alpha = H \cdot \cot \beta + d$

Перенесем члены, содержащие $H$, в одну сторону:

$H \cdot \cot \alpha - H \cdot \cot \beta = d$

Вынесем $H$ за скобки:

$H (\cot \alpha - \cot \beta) = d$

Наконец, выразим искомую высоту $H$:

$H = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

Поскольку точка $A$ находится дальше от объекта, угол возвышения из нее будет меньше, чем из точки $B$ ($\alpha < \beta$). Для острых углов функция котангенса убывает, поэтому $\cot \alpha > \cot \beta$, и знаменатель в формуле будет положительным. Если бы точки наблюдения были выбраны наоборот, результат был бы таким же, но для избежания путаницы со знаками можно использовать модуль разности в знаменателе.

Ответ: Чтобы определить высоту предмета с недоступным основанием, необходимо выполнить следующие действия: выбрать на одной прямой с основанием предмета две точки $A$ и $B$; измерить расстояние $d$ между ними; измерить из этих точек углы возвышения $\alpha$ и $\beta$ до вершины предмета; и, наконец, рассчитать высоту $H$ по формуле $H = \frac{d}{|\cot \alpha - \cot \beta|}$.