Номер 10, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 10, страница 291.

Условие.

10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Формулировка

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, справедливы следующие равенства:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Доказательство

Докажем справедливость формулы для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$, а угол при вершине $C$ — как $\gamma$.

Воспользуемся векторным методом. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Тогда их длины (модули) равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Угол между этими векторами равен $\gamma$.

Вектор $\vec{AB}$, соответствующий стороне $c$, можно выразить как разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$

Длина стороны $c$ равна модулю вектора $\vec{AB}$, то есть $c = |\vec{AB}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Возведём обе части равенства в квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:

$c^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Теперь воспользуемся определением скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.
• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos(\gamma)$.

Подставим эти выражения в полученную формулу для $c^2$:

$c^2 = a^2 - 2ab \cos(\gamma) + b^2$

Перегруппировав слагаемые, получаем итоговое выражение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Формулы для сторон $a$ и $b$ доказываются аналогично. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ верны формулы: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.