Номер 10, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 10, страница 291.
№10 (с. 291)
Условие. №10 (с. 291)
скриншот условия

10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
Решение 2. №10 (с. 291)

Решение 4. №10 (с. 291)

Решение 11. №10 (с. 291)
Формулировка
Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, справедливы следующие равенства:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Доказательство
Докажем справедливость формулы для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$, а угол при вершине $C$ — как $\gamma$.
Воспользуемся векторным методом. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Тогда их длины (модули) равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Угол между этими векторами равен $\gamma$.
Вектор $\vec{AB}$, соответствующий стороне $c$, можно выразить как разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$
Длина стороны $c$ равна модулю вектора $\vec{AB}$, то есть $c = |\vec{AB}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.
Возведём обе части равенства в квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:
$c^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):
$c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$
Теперь воспользуемся определением скалярного произведения:
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.
- Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos(\gamma)$.
Подставим эти выражения в полученную формулу для $c^2$:
$c^2 = a^2 - 2ab \cos(\gamma) + b^2$
Перегруппировав слагаемые, получаем итоговое выражение:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Формулы для сторон $a$ и $b$ доказываются аналогично. Таким образом, теорема доказана.
Ответ: Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ верны формулы: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 291 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №10 (с. 291), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.