Номер 10, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 10, страница 291.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№10 (с. 291)
Условие. №10 (с. 291)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 10, Условие

10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Решение 2. №10 (с. 291)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 10, Решение 2
Решение 4. №10 (с. 291)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 10, Решение 4
Решение 11. №10 (с. 291)

Формулировка

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, справедливы следующие равенства:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Доказательство

Докажем справедливость формулы для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$, а угол при вершине $C$ — как $\gamma$.

Воспользуемся векторным методом. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Тогда их длины (модули) равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{a}| = a$ и $|\vec{b}| = b$. Угол между этими векторами равен $\gamma$.

Вектор $\vec{AB}$, соответствующий стороне $c$, можно выразить как разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$

Длина стороны $c$ равна модулю вектора $\vec{AB}$, то есть $c = |\vec{AB}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Возведём обе части равенства в квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:

$c^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Теперь воспользуемся определением скалярного произведения:

  • Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.
  • Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos(\gamma)$.

Подставим эти выражения в полученную формулу для $c^2$:

$c^2 = a^2 - 2ab \cos(\gamma) + b^2$

Перегруппировав слагаемые, получаем итоговое выражение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Формулы для сторон $a$ и $b$ доказываются аналогично. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ верны формулы: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 291 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №10 (с. 291), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться