Номер 8, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 8, страница 291.

8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Формулировка теоремы

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Если в треугольнике даны стороны a и b, и угол ? между ними, то его площадь S можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

Доказательство

Пусть дан треугольник ABC, в котором $BC = a$, $AC = b$ и $\angle C = \gamma$.

Известно, что площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Примем в качестве основания сторону $AC = b$. Проведем высоту $BH = h$ из вершины B к прямой, содержащей сторону AC.

Тогда площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} b h$.

Далее необходимо выразить высоту h через известные величины a и ?. Для этого рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Угол ? — острый ($ \gamma < 90^\circ $).

Высота BH находится внутри треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нем $BC = a$ является гипотенузой, а $BH = h$ — катетом, противолежащим углу ?. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin\gamma = \frac{h}{a}$

Отсюда получаем, что $h = a \sin\gamma$.

Случай 2: Угол ? — тупой ($ \gamma > 90^\circ $).

Высота BH падает на продолжение стороны AC за точку C. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол BCH является смежным с углом ?, поэтому $\angle BCH = 180^\circ - \gamma$. Катет $BH = h$ противолежит этому углу. По определению синуса:

$\sin(180^\circ - \gamma) = \frac{h}{a}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, мы снова получаем $\sin\gamma = \frac{h}{a}$, откуда $h = a \sin\gamma$.

Случай 3: Угол ? — прямой ($ \gamma = 90^\circ $).

Треугольник ABC — прямоугольный, и его катеты равны a и b. Высота BH, проведенная к основанию AC, совпадает со стороной BC, то есть $h = a$. Формула $h = a \sin\gamma$ также остается верной, так как $\sin(90^\circ) = 1$, и $h = a \cdot 1 = a$.

Таким образом, во всех трех случаях высота треугольника выражается формулой $h = a \sin\gamma$. Подставим это выражение для высоты в исходную формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b (a \sin\gamma) = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема гласит, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. Доказательство основано на том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}bh$). Высота h, опущенная на сторону b, выражается через прилежащую к ней сторону a и угол ? между ними как $h = a \sin\gamma$. Это соотношение справедливо для острого, тупого и прямого угла ?. Подстановка выражения для h в формулу площади доказывает теорему.