Номер 7, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 7, страница 290.

7 Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ задана точка $A$ с координатами $(x; y)$. По условию, ордината точки $A$ неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Начало координат, точка $O$, имеет координаты $(0; 0)$.

Обозначим длину отрезка $OA$ (расстояние от начала координат до точки $A$) через $r$. Таким образом, $r = |OA|$. Поскольку $r$ — это расстояние, $r \ge 0$.

Обозначим угол, образованный лучом $OA$ и положительным направлением оси $Ox$, через $\alpha$. Этот угол отсчитывается от положительной полуоси $Ox$ против часовой стрелки.

Чтобы найти связь между декартовыми координатами $(x; y)$ и полярными координатами $(r; \alpha)$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить, опустив перпендикуляр из точки $A$ на ось $Ox$. Назовем основание этого перпендикуляра точкой $P$. Координаты точки $P$ будут $(x; 0)$.

В полученном прямоугольном треугольнике $\triangle OPA$:

• гипотенуза $OA$ имеет длину $r$;
• катет $OP$, прилежащий к углу $\alpha$, имеет длину, равную абсциссе $x$ точки $A$ (если $x \ge 0$) или $|x|$ (в общем случае);
• катет $AP$, противолежащий углу $\alpha$, имеет длину, равную ординате $y$ точки $A$.

Используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике (которые обобщаются на любые углы с помощью тригонометрической окружности), мы можем записать:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{r}$

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{r}$

Из этих соотношений выразим $x$ и $y$:

$x = r \cdot \cos(\alpha)$

$y = r \cdot \sin(\alpha)$

Данные формулы являются искомыми. Они выражают декартовы координаты $x$ и $y$ точки $A$ через длину $r$ отрезка $OA$ и угол $\alpha$. Условие неотрицательности ординаты ($y \ge 0$) выполняется, когда $\sin(\alpha) \ge 0$ (поскольку $r \ge 0$), что соответствует углам $\alpha$ в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$).

Ответ: Формулы, выражающие координаты точки $A(x; y)$ через длину отрезка $r = |OA|$ и угол $\alpha$ между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$, имеют вид: $x = r \cdot \cos(\alpha)$ и $y = r \cdot \sin(\alpha)$.