Номер 6, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 6, страница 290.

6 Напишите формулы приведения.

Формулы приведения — это тригонометрические тождества, позволяющие упрощать выражения вида $f(n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha)$, где $f$ — одна из тригонометрических функций (sin, cos, tan, cot), $n$ — целое число, а $\alpha$ — некоторый угол. Они сводят вычисление функции от сложного угла к вычислению функции от угла $\alpha$.

Для применения формул приведения используется общее мнемоническое правило, состоящее из двух шагов:

1. Определение знака
Знак в правой части формулы совпадает со знаком, который имеет исходная функция в той координатной четверти, где находится угол $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. Для определения четверти угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

2. Определение функции
Название функции в правой части зависит от значения $n$ (или от оси, на которой лежит опорный угол $n \cdot \frac{\pi}{2}$):

• Если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($n$ — четное, т.е. углы вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$), название функции сохраняется.
• Если опорный угол лежит на вертикальной оси ($n$ — нечетное, т.е. углы вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$), название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$).

Формулы для углов вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$

• $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$
• $\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$
• $\cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$
• $\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
• $\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов вида $\pi \pm \alpha$

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
• $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
• $\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$
• $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$
• $\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$

Формулы для углов вида $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$

• $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$
• $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$
• $\tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha$
• $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha$

• $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$
• $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$
• $\tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha$
• $\cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha$

Формулы для углов вида $2\pi \pm \alpha$

Эти формулы также следуют из общего правила, а также из свойств периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций.

• $\sin(2\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha$
• $\tan(2\pi - \alpha) = \tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
• $\cot(2\pi - \alpha) = \cot(-\alpha) = -\cot\alpha$

Формулы для $2\pi + \alpha$ отражают периодичность: $\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha$ и т.д.

Ответ: Полный список формул приведения и мнемоническое правило для их вывода представлены выше. Основной принцип: знак результата определяется по знаку исходной функции в соответствующей четверти, а изменение функции на кофункцию происходит для опорных углов $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), в то время как для опорных углов $\pi$ и $2\pi$ (горизонтальная ось) функция сохраняется.