Номер 9, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 9, страница 291.

9 Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Формулировка теоремы синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности (расширенная теорема синусов).

Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, и радиусом описанной окружности $R$, справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Доказательство теоремы синусов

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ и углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Опишем около этого треугольника окружность радиуса $R$.

Докажем, что для любой стороны, например $a$, выполняется равенство $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. По аналогии будет следовать, что $\frac{b}{\sin\beta} = 2R$ и $\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, из чего и следует справедливость всей теоремы.

Для доказательства проведем из вершины $B$ диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $BDC$. Возможны три случая для угла $\alpha$.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый ($\alpha < 90^\circ$)

Углы $\angle BAC$ (равный $\alpha$) и $\angle BDC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, они равны: $\angle BDC = \angle BAC = \alpha$.

Треугольник $BDC$ является прямоугольным, так как его угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$. Таким образом, $\angle BCD = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BDC$ по определению синуса острого угла:

$$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $$

Подставляя известные величины ($BC=a$, $BD=2R$, $\angle BDC=\alpha$), получаем:

$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$

Отсюда следует, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой ($\alpha > 90^\circ$)

Рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник $ABDC$. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$$ \angle BDC + \angle BAC = 180^\circ $$

Отсюда $\angle BDC = 180^\circ - \alpha$.

Треугольник $BDC$ по-прежнему является прямоугольным, так как угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$.

В прямоугольном треугольнике $BDC$ имеем:

$$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} $$

Подставляя известные величины, получаем:

$$ \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{a}{2R} $$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$

Отсюда также следует, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Случай 3: Угол $\alpha$ — прямой ($\alpha = 90^\circ$)

Если угол $\alpha$ прямой, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, а его гипотенуза $a$ (сторона $BC$) является диаметром описанной окружности. Таким образом, $a = 2R$.

Синус прямого угла равен единице: $\sin\alpha = \sin 90^\circ = 1$.

Подставим эти значения в доказываемое равенство:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{2R}{1} = 2R $$

Равенство верно.

Таким образом, во всех трех возможных случаях мы доказали, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. Аналогичные рассуждения можно провести для сторон $b$ и $c$ и углов $\beta$ и $\gamma$, получив $\frac{b}{\sin\beta} = 2R$ и $\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$.

Следовательно, справедливо равенство:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно удвоенному радиусу $R$ описанной около треугольника окружности: $ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $. Доказательство основано на рассмотрении треугольника, вписанного в окружность, и анализе трех случаев в зависимости от величины угла (острый, тупой или прямой).