Номер 16, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 16, страница 291.
№16 (с. 291)
Условие. №16 (с. 291)
скриншот условия

16 Что такое скалярное произведение двух векторов?
Решение 2. №16 (с. 291)

Решение 4. №16 (с. 291)

Решение 11. №16 (с. 291)
Скалярное произведение двух векторов (также называемое внутренним произведением) — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число. Оно может быть определено несколькими эквивалентными способами.
Геометрическое определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.
Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$
Здесь:
• $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно.
• $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение считается равным нулю.
Ответ: Геометрически скалярное произведение — это произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Алгебраическое определение (в координатах)
Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном (прямоугольном) базисе, то скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Для двух векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x, a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$
Для двух векторов в пространстве $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
В общем случае для n-мерных векторов $\vec{a} = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ и $\vec{b} = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$
Ответ: Алгебраически скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат векторов.
Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
• Коммутативность (перестановочность): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
• Дистрибутивность относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
• Сочетательность с умножением на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$, где $k$ — любое число.
• Скалярный квадрат вектора: Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Это следует из геометрического определения, так как угол между вектором и им самим равен 0, а $\cos(0) = 1$.
• Условие перпендикулярности (ортогональности): Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$. Это следует из того, что $\cos(90^\circ) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: Скалярное произведение коммутативно, дистрибутивно, сочетательно с умножением на скаляр, а его равенство нулю является признаком перпендикулярности векторов.
Геометрический смысл и применение
Знак скалярного произведения позволяет судить об угле между векторами:
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол $\alpha$ между векторами острый ($0 \le \alpha < 90^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол $\alpha$ между векторами тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, то угол $\alpha$ прямой ($ \alpha = 90^\circ $), т.е. векторы ортогональны.
Основные применения скалярного произведения:
1. Нахождение угла между векторами: Из геометрического определения можно выразить косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
2. Нахождение проекции одного вектора на другой: Скалярная проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ вычисляется как:
$пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = |\vec{a}| \cos \alpha$
3. Вычисление работы в физике: Если тело перемещается на вектор $\vec{s}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$, то работа $A$ этой силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$
Ответ: Скалярное произведение используется для определения угла между векторами, нахождения проекции одного вектора на другой и вычисления физических величин, например, работы силы.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 291 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16 (с. 291), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.