Номер 16, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 16, страница 291.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№16 (с. 291)
Условие. №16 (с. 291)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 16, Условие

16 Что такое скалярное произведение двух векторов?

Решение 2. №16 (с. 291)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 16, Решение 2
Решение 4. №16 (с. 291)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 291, номер 16, Решение 4
Решение 11. №16 (с. 291)

Скалярное произведение двух векторов (также называемое внутренним произведением) — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число. Оно может быть определено несколькими эквивалентными способами.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$

Здесь:
• $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно.
• $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение считается равным нулю.

Ответ: Геометрически скалярное произведение — это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Алгебраическое определение (в координатах)

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном (прямоугольном) базисе, то скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Для двух векторов на плоскости $\vec{a} = \{a_x, a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Для двух векторов в пространстве $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

В общем случае для n-мерных векторов $\vec{a} = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ и $\vec{b} = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

Ответ: Алгебраически скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат векторов.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
Коммутативность (перестановочность): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
Дистрибутивность относительно сложения векторов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
Сочетательность с умножением на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$, где $k$ — любое число.
Скалярный квадрат вектора: Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Это следует из геометрического определения, так как угол между вектором и им самим равен 0, а $\cos(0) = 1$.
Условие перпендикулярности (ортогональности): Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$. Это следует из того, что $\cos(90^\circ) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: Скалярное произведение коммутативно, дистрибутивно, сочетательно с умножением на скаляр, а его равенство нулю является признаком перпендикулярности векторов.

Геометрический смысл и применение

Знак скалярного произведения позволяет судить об угле между векторами:
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол $\alpha$ между векторами острый ($0 \le \alpha < 90^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол $\alpha$ между векторами тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).
• Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, то угол $\alpha$ прямой ($ \alpha = 90^\circ $), т.е. векторы ортогональны.
Основные применения скалярного произведения:
1. Нахождение угла между векторами: Из геометрического определения можно выразить косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
2. Нахождение проекции одного вектора на другой: Скалярная проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ вычисляется как:
$пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = |\vec{a}| \cos \alpha$
3. Вычисление работы в физике: Если тело перемещается на вектор $\vec{s}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$, то работа $A$ этой силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

Ответ: Скалярное произведение используется для определения угла между векторами, нахождения проекции одного вектора на другой и вычисления физических величин, например, работы силы.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 291 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16 (с. 291), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться