Номер 17, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 17, страница 291.

17 В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$).
По условию, векторы являются ненулевыми, следовательно, их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Произведение длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ всегда будет положительным числом. Таким образом, знак скалярного произведения полностью определяется знаком косинуса угла между векторами, $\cos(\alpha)$.

а) равно 0

Скалярное произведение равно нулю, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Из формулы $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) = 0$, и учитывая, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, следует, что $\cos(\alpha) = 0$.
Это верно, когда угол $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Векторы, угол между которыми составляет $90^\circ$, называются перпендикулярными (или ортогональными).
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, если угол между ними прямой, то есть векторы перпендикулярны.

б) больше 0

Скалярное произведение больше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$. Так как $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $\cos(\alpha) > 0$.
Косинус положителен для острых углов, то есть когда $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов больше 0, если угол между ними острый.

в) меньше 0

Скалярное произведение меньше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$. Так как $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $\cos(\alpha) < 0$.
Косинус отрицателен для тупых углов, то есть когда $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.
Ответ: Скалярное произведение ненулевых векторов меньше 0, если угол между ними тупой.