Номер 1146, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1146, страница 291.

1146 В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠А = 30°. Найдите высоты BE и AD, a также отрезки АЕ, ЕС, ВС.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB = AC = b$ и углом при вершине $\angle A = 30^{\circ}$, нам необходимо найти высоты $BE$ и $AD$, а также отрезки $AE, EC$ и $BC$.

Высота BE

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$, который образуется при проведении высоты $BE$ к стороне $AC$. В этом треугольнике гипотенуза $AB = b$, а угол $\angle A = 30^{\circ}$. Высота $BE$ является катетом, противолежащим углу $A$. По определению синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BE}{AB}$
$BE = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.
Ответ: $BE = \frac{b}{2}$.

Отрезок AE

В том же прямоугольном треугольнике $ABE$ отрезок $AE$ является катетом, прилежащим к углу $A$. По определению косинуса:
$\cos(\angle A) = \frac{AE}{AB}$
$AE = AB \cdot \cos(30^{\circ}) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $AE = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.

Отрезок EC

Точка $E$ лежит на стороне $AC$. Длина всей стороны $AC$ равна $b$. Отрезок $EC$ можно найти как разность длин $AC$ и $AE$:
$EC = AC - AE = b - \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{2b - b\sqrt{3}}{2} = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$.
Ответ: $EC = \frac{b(2 - \sqrt{3})}{2}$.

Отрезок BC

Сторону $BC$ (основание треугольника) можно найти с помощью теоремы косинусов для треугольника $ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$
$BC^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos(30^{\circ}) = 2b^2 - 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2b^2 - b^2\sqrt{3} = b^2(2 - \sqrt{3})$.
$BC = \sqrt{b^2(2 - \sqrt{3})} = b\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
Для упрощения радикала $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ можно использовать формулу $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ или преобразовать подкоренное выражение к полному квадрату:
$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $BC = b \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $BC = \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.

Высота AD

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AD$, проведенная к основанию $BC$, является также медианой и биссектрисой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем гипотенуза $AC = b$. Катет $DC$ равен половине основания $BC$, то есть $DC = \frac{BC}{2} = \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.
Высоту $AD$ найдем по теореме Пифагора:
$AD^2 = AC^2 - DC^2 = b^2 - \left( \frac{b(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \right)^2$
$AD^2 = b^2 - \frac{b^2(6 - 2\sqrt{12} + 2)}{16} = b^2 - \frac{b^2(8 - 4\sqrt{3})}{16} = b^2 - \frac{b^2(2 - \sqrt{3})}{4}$
$AD^2 = \frac{4b^2 - 2b^2 + b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2b^2 + b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}$.
$AD = \sqrt{\frac{b^2(2 + \sqrt{3})}{4}} = \frac{b\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$.
Упростим радикал $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ по аналогии с предыдущим:
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $AD = \frac{b}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{b(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.
Альтернативный способ: так как $AD$ является биссектрисой, $\angle CAD = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^\circ$. Тогда из треугольника $ADC$: $AD = AC \cdot \cos(15^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $AD = \frac{b(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$.