Номер 20, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 20, страница 291.

20 Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

Для вывода формулы косинуса угла между двумя ненулевыми векторами воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть в прямоугольной системе координат даны два ненулевых вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2, y_2, z_2\}$. Отложим эти векторы от начала координат $O(0, 0, 0)$. Их концами будут точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол $AOB$ в треугольнике $OAB$.

Согласно теореме косинусов для треугольника $OAB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)$

Теперь выразим квадраты длин сторон этого треугольника через координаты его вершин:

• Длина стороны $OA$ — это модуль (длина) вектора $\vec{a}$: $OA = |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
  Соответственно, $OA^2 = |\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$.
• Длина стороны $OB$ — это модуль вектора $\vec{b}$: $OB = |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$.
  Соответственно, $OB^2 = |\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$.
• Длина стороны $AB$ — это модуль вектора $\vec{AB}$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты, равные разности координат его конца (точки B) и начала (точки A): $\vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$.
  Соответственно, $AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Подставим эти выражения в формулу теоремы косинусов: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2) = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Сократим одинаковые слагаемые ($x_1^2, y_1^2, z_1^2, x_2^2, y_2^2, z_2^2$) в обеих частях уравнения: $-2x_1x_2 - 2y_1y_2 - 2z_1z_2 = -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Разделив обе части на $-2$, получим: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Левая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатной форме. Из этого равенства выразим косинус угла $\theta$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить на их произведение: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Подставив выражения для модулей векторов, получим окончательную формулу.

Ответ:

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ в пространстве выражается формулой: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$ формула упрощается (полагая $z_1=0, z_2=0$): $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$