Номер 20, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 20, страница 291.

Условие.

20 Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для вывода формулы косинуса угла между двумя ненулевыми векторами воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть в прямоугольной системе координат даны два ненулевых вектора: $\vec{a}$ с координатами $\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2, y_2, z_2\}$. Отложим эти векторы от начала координат $O(0, 0, 0)$. Их концами будут точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол $AOB$ в треугольнике $OAB$.

Согласно теореме косинусов для треугольника $OAB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)$

Теперь выразим квадраты длин сторон этого треугольника через координаты его вершин:

• Длина стороны $OA$ — это модуль (длина) вектора $\vec{a}$: $OA = |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
  Соответственно, $OA^2 = |\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$.
• Длина стороны $OB$ — это модуль вектора $\vec{b}$: $OB = |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$.
  Соответственно, $OB^2 = |\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$.
• Длина стороны $AB$ — это модуль вектора $\vec{AB}$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты, равные разности координат его конца (точки B) и начала (точки A): $\vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$.
  Соответственно, $AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Подставим эти выражения в формулу теоремы косинусов: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2) + (y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2) + (z_2^2 - 2z_1z_2 + z_1^2) = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Сократим одинаковые слагаемые ($x_1^2, y_1^2, z_1^2, x_2^2, y_2^2, z_2^2$) в обеих частях уравнения: $-2x_1x_2 - 2y_1y_2 - 2z_1z_2 = -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Разделив обе части на $-2$, получим: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$

Левая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатной форме. Из этого равенства выразим косинус угла $\theta$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить на их произведение: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Подставив выражения для модулей векторов, получим окончательную формулу.

Ответ:

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ в пространстве выражается формулой: $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$ формула упрощается (полагая $z_1=0, z_2=0$): $\cos(\theta) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$