Номер 13, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 13, страница 291.

Условие.

13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для измерения расстояния до недоступной точки (обозначим ее как точка C) применяется метод триангуляции, который основан на решении треугольника с помощью тригонометрии. Этот метод позволяет вычислить искомое расстояние, не имея к нему прямого доступа. Для этого нужно выполнить следующую последовательность действий.

Шаг 1: Построение базиса. На доступной для перемещения и измерений местности выбирают две удобные точки A и B. Отрезок AB, соединяющий эти точки, называется базисом.

Шаг 2: Измерение базиса. С помощью рулетки, лазерного дальномера или другого подходящего инструмента измеряют длину базиса AB. Обозначим эту длину как $c$.

Шаг 3: Измерение углов. С помощью угломерного инструмента (например, теодолита или гномона) измеряют два угла:
• Находясь в точке A, измеряют угол между направлением на точку B и направлением на недоступную точку C. Обозначим этот угол $\angle CAB = \alpha$.
• Переместившись в точку B, измеряют угол между направлением на точку A и направлением на недоступную точку C. Обозначим этот угол $\angle CBA = \beta$.

Шаг 4: Математические вычисления. В результате измерений мы получаем воображаемый треугольник $\triangle ABC$, в котором известна длина стороны $c = AB$ и два прилежащих к ней угла: $\alpha$ и $\beta$. Искомым расстоянием является длина стороны AC или BC. Для их нахождения используется теорема синусов.
Сначала находим третий угол треугольника, $\gamma = \angle ACB$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta $
Затем, согласно теореме синусов, которая гласит, что $ \frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma} $, мы можем найти искомые расстояния. Например, расстояние от точки A до точки C (длина стороны AC) вычисляется по формуле:
$ AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} $
Аналогично можно найти и расстояние BC:
$ BC = \frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} $

Проведя эти измерения и вычисления, можно с достаточной точностью определить расстояние до объекта, к которому невозможно подойти вплотную.

Ответ: Для измерения расстояния до недоступной точки C необходимо: 1) выбрать на доступной местности две точки A и B (базис); 2) измерить расстояние между ними ($AB=c$); 3) измерить углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$ с помощью угломерного прибора; 4) используя теорему синусов, вычислить искомое расстояние (например, AC) по формуле $AC = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}$.