Номер 15, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 15, страница 291.

15 Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

С алгебраической точки зрения, перпендикулярность векторов определяется через их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связано с углом $\theta$ между ними следующей формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов.

Поскольку косинус угла $90^\circ$ равен нулю ($\cos(90^\circ) = 0$), для перпендикулярных векторов их скалярное произведение всегда равно нулю. Таким образом, условие перпендикулярности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (обозначается как $\vec{a} \perp \vec{b}$) эквивалентно равенству их скалярного произведения нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это является необходимым и достаточным условием для двух ненулевых векторов.

Если векторы заданы своими координатами, то это условие можно записать в координатной форме. Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ условие перпендикулярности имеет вид: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ условие выглядит так: $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$.

Важно отметить, что нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается перпендикулярным любому другому вектору, так как его скалярное произведение с любым вектором всегда равно нулю.

Ответ: Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Эквивалентным и наиболее часто используемым на практике условием является равенство их скалярного произведения нулю.