Номер 14, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 14, страница 291.

14 Объясните, что означают слова «угол между векторами a и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Объясните, что означают слова «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$».

Чтобы найти угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их необходимо привести к общему началу. Для этого выберем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы, равные данным: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ образуют угол, который принято обозначать $\angle AOB$. Величина этого угла, которая по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, и есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Таким образом, фраза «угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$» означает, что величина угла, образованного этими векторами, если их отложить из одной точки, составляет $\alpha$ градусов (или радиан). Математически это выражается через скалярное произведение векторов:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов.

Ответ: Это означает, что если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки $O$ так, что $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то величина угла $\angle AOB$ будет равна $\alpha$.

В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Угол между двумя (ненулевыми) векторами равен $0^\circ$ тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены. Это означает, что они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых и указывают в одном и том же направлении. Обозначается это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Если отложить сонаправленные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки $O$, то они расположатся на одном и том же луче. Угол между совпадающими лучами по определению равен $0^\circ$.

В терминах скалярного произведения, если угол $\alpha = 0^\circ$, то $\cos(0^\circ) = 1$, и формула скалярного произведения принимает вид:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
Это равенство является условием сонаправленности двух ненулевых векторов.

Ответ: Угол между векторами считается равным $0^\circ$, если эти векторы сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление.