Номер 22, страница 291 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Вопросы для повторения к главе 12 - номер 22, страница 291.

Условие.

22 Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Скалярное произведение векторов — это мощный инструмент для решения геометрических задач, поскольку оно позволяет перевести геометрические понятия, такие как длина, угол и перпендикулярность, на язык алгебры. Рассмотрим на примере, как с помощью скалярного произведения можно доказать известный геометрический факт.

Задача: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Пусть у нас есть ромб $ABCD$. Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

2. По определению ромба, все его стороны равны. Следовательно, длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

3. Выразим векторы диагоналей ромба через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Диагональ $AC$ является суммой векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм (частный случай — ромб), то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Диагональ $DB$ является разностью векторов: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$.

4. Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, нужно показать, что угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $90^\circ$. Это эквивалентно тому, что их скалярное произведение равно нулю.

5. Вычислим скалярное произведение векторов диагоналей:$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

6. Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки. Это похоже на формулу разности квадратов:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$.

7. По определению скалярного произведения, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля):$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.
Таким образом, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.

8. Вспомним, что для ромба длины смежных сторон равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$, и их разность равна нулю:$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$. Это означает, что векторы диагоналей перпендикулярны, а значит, и сами диагонали ромба взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Пример использования скалярного произведения — доказательство перпендикулярности диагоналей ромба. Скалярное произведение векторов диагоналей, выраженных через векторы смежных сторон ($\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$), равно $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$. Поскольку для ромба $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, скалярное произведение равно нулю, что доказывает перпендикулярность диагоналей.