Номер 1152, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1152, страница 292.

1152 Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠А = α, AB = с, AC = b.

Для нахождения длины биссектрисы AD треугольника ABC воспользуемся методом, основанным на вычислении площади треугольника. Обозначим искомую длину биссектрисы AD как $l_a$.

Площадь треугольника ABC может быть вычислена по формуле с использованием двух сторон и угла между ними. В данном случае известны стороны $AB = c$, $AC = b$ и угол между ними $\angle A = \alpha$.

Площадь треугольника ABC: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2}bc \sin\alpha$.

Биссектриса AD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника:

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Так как AD — биссектриса угла A, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Вычислим площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, используя сторону $AD=l_a$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим все выражения для площадей в основное равенство:

$\frac{1}{2}bc \sin\alpha = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Упростим полученное уравнение. Сначала умножим обе части на 2, а затем вынесем общие множители в правой части:

$bc \sin\alpha = c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

$bc \sin\alpha = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

$bc \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Поскольку $\alpha$ — это угол треугольника, то $0 < \alpha < 180^\circ$, а значит $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. В этом диапазоне $\sin(\frac{\alpha}{2}) > 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$2bc \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a$

Из этого уравнения выражаем искомую длину биссектрисы $l_a$, которая является длиной отрезка AD:

$AD = l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $AD = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{\alpha}{2}$.