Номер 1152, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1152, страница 292.

Условие.

1152 Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠А = α, AB = с, AC = b.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для нахождения длины биссектрисы AD треугольника ABC воспользуемся методом, основанным на вычислении площади треугольника. Обозначим искомую длину биссектрисы AD как $l_a$.

Площадь треугольника ABC может быть вычислена по формуле с использованием двух сторон и угла между ними. В данном случае известны стороны $AB = c$, $AC = b$ и угол между ними $\angle A = \alpha$.

Площадь треугольника ABC: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2}bc \sin\alpha$.

Биссектриса AD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника:

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

Так как AD — биссектриса угла A, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Вычислим площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, используя сторону $AD=l_a$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим все выражения для площадей в основное равенство:

$\frac{1}{2}bc \sin\alpha = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Упростим полученное уравнение. Сначала умножим обе части на 2, а затем вынесем общие множители в правой части:

$bc \sin\alpha = c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

$bc \sin\alpha = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

$bc \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Поскольку $\alpha$ — это угол треугольника, то $0 < \alpha < 180^\circ$, а значит $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. В этом диапазоне $\sin(\frac{\alpha}{2}) > 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$2bc \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a$

Из этого уравнения выражаем искомую длину биссектрисы $l_a$, которая является длиной отрезка AD:

$AD = l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $AD = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{\alpha}{2}$.