Номер 5, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 5, страница 290.

5 Докажите основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество устанавливает связь между синусом и косинусом одного и того же угла $\alpha$ и выглядит следующим образом: $$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $$ Доказательство этого тождества наиболее наглядно и универсально проводится с использованием единичной окружности.

Рассмотрим в декартовой системе координат $xOy$ окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом, равным единице ($R=1$). Такую окружность называют единичной. Уравнение единичной окружности имеет вид: $$ x^2 + y^2 = 1 $$

Возьмем на этой окружности произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$. Проведем радиус $OM$. Угол, который образует этот радиус с положительным направлением оси $Ox$ (при отсчете против часовой стрелки), обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций, координаты точки $M$ на единичной окружности равны косинусу и синусу угла $\alpha$:
Абсцисса точки (координата по оси x): $x = \cos(\alpha)$
Ордината точки (координата по оси y): $y = \sin(\alpha)$

Поскольку точка $M(x, y)$ принадлежит окружности, ее координаты должны удовлетворять уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции: $$ (\cos(\alpha))^2 + (\sin(\alpha))^2 = 1 $$

Используя общепринятую сокращенную запись степеней тригонометрических функций $(\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$ и $(\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha)$, а также меняя слагаемые местами для получения традиционного вида, получаем искомое тождество: $$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $$ Так как точка $M$ была выбрана на окружности произвольно, то и угол $\alpha$ может быть любым. Следовательно, это равенство является тождеством, справедливым для любого действительного значения угла $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ доказано.