Номер 1143, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1143, страница 289.

1143 Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка M — середина отрезка ВС, поэтому 2AM = AB + AC. Отсюда получаем

(2AM) ⋅ (2AM) = (AB + AC) ⋅ (AB + AC) =
= AB ⋅ AB + 2AB ⋅ AC + AC ⋅ AC =
= AB² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А + AC²,

или 4AM² = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А.

Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

Доказательство формулы $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM$ — медиана. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$.

В векторной алгебре для медианы треугольника справедливо следующее равенство: вектор медианы, проведенный из вершины, равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и образующих стороны треугольника. Для медианы $AM$ это выглядит так:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Домножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$

Для нахождения квадрата длины медианы $AM$ необходимо найти скалярный квадрат вектора $2\vec{AM}$. Скалярный квадрат вектора — это скалярное произведение вектора на самого себя. Возведем обе части векторного равенства в скалярный квадрат:

$(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Рассмотрим левую часть равенства. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = 4(\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = 4|\vec{AM}|^2 = 4AM^2$.

Рассмотрим правую часть равенства, раскрыв скобки по правилу скалярного умножения векторов:

$(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Используя свойство скалярного квадрата ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$) и определение скалярного произведения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$), преобразуем правую часть:

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = AC^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = AB \cdot AC \cdot \cos A$

Подставим полученные выражения обратно в правую часть:

$AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2$

Приравнивая левую и правую части, получаем искомую формулу:

$4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Формула доказана.

Ответ: Утверждение, что если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$, доказано.

Доказательство того, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны, то есть $AB = AC$. Пусть $BC$ — основание.

Проведем медиану $BN$ к боковой стороне $AC$ и медиану $CL$ к боковой стороне $AB$. Необходимо доказать, что их длины равны, то есть $BN = CL$.

Для доказательства воспользуемся выведенной выше формулой. Эта формула позволяет найти длину медианы, проведенной из одной вершины, зная длины двух сторон, выходящих из этой вершины, и косинус угла между ними.

1. Найдем длину медианы $BN$, проведенной из вершины $B$. Стороны, выходящие из этой вершины, — $BA$ и $BC$. Угол между ними — $\angle B$. Применяем формулу:

$4BN^2 = BA^2 + BC^2 + 2 \cdot BA \cdot BC \cdot \cos B$

2. Найдем длину медианы $CL$, проведенной из вершины $C$. Стороны, выходящие из этой вершины, — $CA$ и $CB$. Угол между ними — $\angle C$. Применяем формулу:

$4CL^2 = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C$

3. Сравним полученные выражения для $4BN^2$ и $4CL^2$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$:

• Боковые стороны равны: $BA = CA$.
• Углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Следовательно, $\cos B = \cos C$.
• Сторона $BC$ равна стороне $CB$ (это одна и та же сторона).

Учитывая эти свойства, мы видим, что правые части выражений для $4BN^2$ и $4CL^2$ идентичны:

$BA^2 + BC^2 + 2 \cdot BA \cdot BC \cdot \cos B = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C$

Следовательно, равны и левые части:

$4BN^2 = 4CL^2$

Разделим обе части на 4:

$BN^2 = CL^2$

Так как длина отрезка — величина положительная, из равенства квадратов длин следует равенство самих длин:

$BN = CL$

Таким образом, доказано, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: Доказано, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.