Номер 3, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 12. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 3, страница 290.

3 Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

Что называется тангенсом угла ??

Тангенсом угла ? (обозначается как $tg\alpha$ или $tan\alpha$) называется одна из основных тригонометрических функций. Существует несколько эквивалентных определений тангенса:

• Через отношение синуса и косинуса: Это наиболее общее определение. Тангенс угла ? — это отношение синуса этого угла к его косинусу.

  $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

• В прямоугольном треугольнике: Для острого угла ? в прямоугольном треугольнике тангенс — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

• С помощью единичной окружности: Тангенс угла ? — это ордината (координата y) точки пересечения конечной стороны угла с "осью тангенсов" — касательной к единичной окружности, проведенной через точку с координатами (1, 0).

Ответ: Тангенсом угла ? называется отношение синуса этого угла к его косинусу.

Для какого значения ? тангенс не определён и почему?

Тангенс угла ? определяется формулой $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Следовательно, тангенс не определён для тех значений угла ?, при которых косинус этого угла равен нулю.

Уравнение $\cos\alpha = 0$ имеет решения, когда угол ? соответствует точкам на единичной окружности, лежащим на вертикальной оси (оси OY).

Эти значения можно записать общей формулой в радианах:

$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В градусной мере это выглядит так:

$\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Почему? Причина, по которой тангенс для этих углов не определён, заключается в том, что его вычисление сводится к операции деления на ноль ($\cos\alpha = 0$), которая в математике не определена.

Ответ: Тангенс не определён для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (или $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$), где $k$ — любое целое число, потому что для этих углов $\cos\alpha = 0$, а деление на ноль является недопустимой математической операцией.