Страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1162 Точка M лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что

где b = AC, c = AB.

Решение

По условию задачи точка M лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC, поэтому ВМ = kMC или BM = k (BC − BM). Следовательно,

По правилу треугольника сложения векторов AM = AB + ВМ, или AM = AB + k1 + k (AC − AB) = = k1 + k AB + k1 + k AC. Таким образом,

(1 + k) AM = AB + kAC.

Отсюда получаем

(1 + k)² (AM ⋅ AM) = = (AB + kAC) (AB + kAC) = = AB ⋅ AB + 2kAB ⋅ AC + k²AC ⋅ AC.

Так как

AM ⋅ AM = AM², AB ⋅ AB = c², AC ⋅ AC = b², AB ⋅ AC = bc cos A,

то полученная формула совпадает с искомой формулой.

Решение
По условию задачи точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$ и $BM = kMC$. Поскольку точка $M$ находится на отрезке $BC$, векторы $\vec{BM}$ и $\vec{MC}$ сонаправлены, а их длины соотносятся как $k:1$. Следовательно, мы можем записать векторное равенство: $\vec{BM} = k\vec{MC}$.

Выразим вектор $\vec{MC}$ через векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BM}$: $\vec{MC} = \vec{BC} - \vec{BM}$. Подставим это выражение в наше равенство:
$\vec{BM} = k(\vec{BC} - \vec{BM})$
Раскроем скобки и выразим $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = k\vec{BC} - k\vec{BM}$
$\vec{BM} + k\vec{BM} = k\vec{BC}$
$(1+k)\vec{BM} = k\vec{BC}$
$\vec{BM} = \frac{k}{1+k}\vec{BC}$.

Теперь представим вектор $\vec{BC}$ через векторы с общим началом в вершине $A$: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = \frac{k}{1+k}(\vec{AC} - \vec{AB})$.

По правилу сложения векторов для треугольника $ABM$ имеем: $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$.
Заменим $\vec{BM}$ на полученное выражение:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{k}{1+k}(\vec{AC} - \vec{AB})$
Приведем подобные слагаемые:
$\vec{AM} = (1 - \frac{k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = (\frac{1+k-k}{1+k})\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$
$\vec{AM} = \frac{1}{1+k}\vec{AB} + \frac{k}{1+k}\vec{AC}$.

Умножим обе части равенства на $(1+k)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$(1+k)\vec{AM} = \vec{AB} + k\vec{AC}$.

Чтобы перейти от векторов к длинам, возведем обе части этого равенства в скалярный квадрат (то есть умножим скалярно каждую часть на саму себя):
$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} + k\vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + k\vec{AC})$.
Раскроем скалярное произведение в правой части по свойству дистрибутивности:
$(1+k)^2 (\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = (\vec{AB} \cdot \vec{AB}) + 2k(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + k^2(\vec{AC} \cdot \vec{AC})$.

Используем определения и обозначения из условия ($b=AC, c=AB$):
1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 = v^2$.
2. Скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно $|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол между ними.
Таким образом:
$\vec{AM} \cdot \vec{AM} = AM^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2 = c^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = AC^2 = b^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = c \cdot b \cdot \cos A$.

Подставляем эти выражения в наше равенство:
$(1+k)^2 AM^2 = c^2 + 2k(cb \cos A) + k^2b^2$.
Перегруппируем слагаемые в правой части для соответствия искомой формуле:
$(1+k)^2 AM^2 = k^2b^2 + 2bck \cos A + c^2$.
Это и есть формула, которую требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1163 Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (−1; 2), B (1; −2), C (2; 0), D (1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.

Докажите, что ABCD — трапеция

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией, необходимо показать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна. Параллельность двух отрезков можно определить по их угловым коэффициентам (для невертикальных прямых) или по коллинеарности соответствующих векторов. Воспользуемся вторым методом.

Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника $ABCD$ с вершинами $A(-1; 2)$, $B(1; -2)$, $C(2; 0)$, $D(1; 6)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$: $(1 - (-1); -2 - 2) = (2; -4)$.
Координаты вектора $\vec{BC}$: $(2 - 1; 0 - (-2)) = (1; 2)$.
Координаты вектора $\vec{CD}$: $(1 - 2; 6 - 0) = (-1; 6)$.
Координаты вектора $\vec{DA}$: $(-1 - 1; 2 - 6) = (-2; -4)$.

Теперь проверим векторы на коллинеарность. Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $x_1 = kx_2$ и $y_1 = ky_2$.

Сравним векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$.
$\vec{BC} = (1; 2)$ и $\vec{DA} = (-2; -4)$.
Найдем отношение их координат: $\frac{-2}{1} = -2$ и $\frac{-4}{2} = -2$.Поскольку отношения координат равны, векторы коллинеарны, причем $\vec{DA} = -2 \cdot \vec{BC}$. Это означает, что стороны $BC$ и $DA$ параллельны ($BC \parallel DA$).

Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
$\vec{AB} = (2; -4)$ и $\vec{CD} = (-1; 6)$.
Найдем отношение их координат: $\frac{2}{-1} = -2$ и $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.Поскольку отношения координат не равны ($-2 \neq -\frac{2}{3}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а значит, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Так как у четырехугольника $ABCD$ одна пара сторон параллельна ($BC \parallel DA$), а другая не параллельна, то по определению $ABCD$ является трапецией.

Ответ: Утверждение, что ABCD — трапеция, доказано.

найдите её площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.Основаниями трапеции $ABCD$ являются параллельные стороны $BC$ и $DA$. Найдем их длины как модули соответствующих векторов:

$a = BC = |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$b = DA = |\vec{DA}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Высота трапеции $h$ — это перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими основания. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $D(1; 6)$ и $A(-1; 2)$.Угловой коэффициент прямой $DA$: $k = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{2 - 6}{-1 - 1} = \frac{-4}{-2} = 2$.Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку $A(-1; 2)$:$y - y_A = k(x - x_A)$$y - 2 = 2(x - (-1))$$y - 2 = 2x + 2$$2x - y + 4 = 0$

Высота $h$ равна расстоянию от любой точки на основании $BC$ (например, от точки $C(2; 0)$) до прямой $DA$, заданной уравнением $2x - y + 4 = 0$.Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$h = \frac{|2(2) - (0) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 - 0 + 4|}{\sqrt{4+1}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{BC+DA}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$.

Ответ: 12.

1164 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, отрезок AM — медиана, b=AC, с=AB. Докажите, что:

$\text{а)} AD=\frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}};$

$\text{б)} AM=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}.$

a)

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые его разбивает биссектриса $AD$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через две стороны и угол между ними: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A$.

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAD = \angle CAD = \frac{A}{2}$. Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.
$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Теперь приравняем площадь большого треугольника к сумме площадей двух меньших: $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$
$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2} + \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Умножим обе части на 2 и вынесем $AD \cdot \sin\frac{A}{2}$ за скобки в правой части: $bc \sin A = AD \cdot (b+c) \sin\frac{A}{2}$.

Выразим $AD$: $AD = \frac{bc \sin A}{(b+c) \sin\frac{A}{2}}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$: $AD = \frac{bc \cdot 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}{(b+c) \sin\frac{A}{2}}$.

Сократим $\sin\frac{A}{2}$ (так как угол $A$ в треугольнике, то $0 < A < 180^\circ$, следовательно $\sin\frac{A}{2} \neq 0$): $AD = \frac{2bc}{b+c} \cos\frac{A}{2}$.

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: $\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ (косинус половинного угла в треугольнике положителен). Подставим это выражение в формулу для $AD$: $AD = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $AD = \frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$.

б)

Для нахождения длины медианы $AM$ воспользуемся методом достроения до параллелограмма.

Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $K$, так что $AM = MK$. Рассмотрим четырехугольник $ABKC$. Его диагонали $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, $M$ — середина $AK$. По определению медианы, $M$ — середина $BC$. Так как диагонали четырехугольника $ABKC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABKC$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BK = AC = b$ и $CK = AB = c$. Также, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ABK + \angle BAC = 180^\circ$, откуда $\angle ABK = 180^\circ - A$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Две его стороны и угол между ними известны: $AB=c$, $BK=b$, $\angle ABK = 180^\circ - A$. Третья сторона $AK = AM + MK = 2AM$. Применим к треугольнику $ABK$ теорему косинусов: $AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos(\angle ABK)$.

Подставим известные значения: $(2AM)^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cos(180^\circ - A)$.

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем: $4AM^2 = b^2 + c^2 - 2bc(-\cos A)$
$4AM^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$.

Выразим $AM$: $AM^2 = \frac{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}{4}$.
$AM = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}$.

1165 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками ромба.

Дано:
ABCD — параллелограмм.
AC и BD — его диагонали.
Точка O — точка пересечения диагоналей ($AC \cap BD = O$).
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Доказать:
ABCD — ромб.

Доказательство:

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Нам нужно доказать, что у данного параллелограмма ABCD все стороны равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ и треугольник $\triangle COB$, которые образованы пересечением диагоналей.

1. По свойству диагоналей любого параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок $AO$ равен отрезку $OC$: $AO = OC$.

2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

3. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, а это значит, что угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.

Из этих трех пунктов следует, что треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. В данном случае сторона $AB$ треугольника $\triangle AOB$ соответствует стороне $BC$ треугольника $\triangle COB$. Значит, $AB = BC$.

Мы доказали, что две смежные стороны параллелограмма равны. В параллелограмме противолежащие стороны также равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.

Сопоставив все равенства, получаем: $AB = BC = CD = AD$.

Так как ABCD — это параллелограмм, у которого все стороны равны, то по определению он является ромбом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом, так как из условий следует равенство смежных сторон (через равенство прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм), а в параллелограмме равенство смежных сторон означает равенство всех четырех сторон.

1166 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Пусть даны два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим их стороны как $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин соответствующих сторон:

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c}$

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

а) описанных около треугольников

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$, а $R_1$ — радиус окружности, описанной около $\triangle A_1B_1C_1$. Необходимо доказать, что отношение радиусов $\frac{R_1}{R}$ равно коэффициенту подобия $k$.

Согласно обобщенной теореме синусов, радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{a}{2\sin A}$

Применим эту формулу для обоих треугольников:

Для $\triangle ABC$: $R = \frac{a}{2\sin A}$

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $R_1 = \frac{a_1}{2\sin A_1}$

Теперь найдем отношение радиусов $R_1$ и $R$:

$\frac{R_1}{R} = \frac{\frac{a_1}{2\sin A_1}}{\frac{a}{2\sin A}}$

Поскольку треугольники подобны, $\angle A = \angle A_1$, и, следовательно, $\sin A = \sin A_1$. Значит, можно сократить $2\sin A$ и $2\sin A_1$ в числителе и знаменателе:

$\frac{R_1}{R} = \frac{a_1}{a}$

По определению коэффициента подобия, $\frac{a_1}{a} = k$. Таким образом, мы получаем:

$\frac{R_1}{R} = k$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их описанных окружностей.

б) вписанных в эти треугольники

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle ABC$, а $r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\triangle A_1B_1C_1$. Необходимо доказать, что отношение радиусов $\frac{r_1}{r}$ равно коэффициенту подобия $k$.

Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Применим эту формулу для обоих треугольников:

Для $\triangle ABC$: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — его площадь, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $r_1 = \frac{S_1}{p_1}$, где $S_1$ — его площадь, а $p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2}$ — полупериметр.

Найдем отношение радиусов $r_1$ и $r$:

$\frac{r_1}{r} = \frac{\frac{S_1}{p_1}}{\frac{S}{p}} = \frac{S_1}{S} \cdot \frac{p}{p_1}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S} = k^2$.

Теперь найдем отношение полупериметров. Используя $a_1=ka$, $b_1=kb$, $c_1=kc$, получим:

$p_1 = \frac{a_1+b_1+c_1}{2} = \frac{ka+kb+kc}{2} = \frac{k(a+b+c)}{2} = k \cdot p$

Следовательно, отношение полупериметров $\frac{p_1}{p} = k$.

Подставим найденные отношения площадей и полупериметров в выражение для отношения радиусов:

$\frac{r_1}{r} = \frac{S_1}{S} \cdot \frac{p}{p_1} = k^2 \cdot \frac{p}{kp} = k^2 \cdot \frac{1}{k} = k$

В итоге получаем $\frac{r_1}{r} = k$.

Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их вписанных окружностей.