Страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1133 Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если:

а) a {14; −1}, b {2; 3};

б) a {−5; 6}, b {6; 5};

в) a {1,5; 2}, b {4; −0,5}.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, заданных своими координатами на плоскости, вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Применим эту формулу для каждого случая.

а) Даны векторы $\vec{a}\{\frac{1}{4}; -1\}$ и $\vec{b}\{2; 3\}$.
Подставим их координаты в формулу и вычислим скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = \frac{2}{4} - 3 = \frac{1}{2} - 3 = 0,5 - 3 = -2,5$.
Ответ: $-2,5$.

б) Даны векторы $\vec{a}\{-5; 6\}$ и $\vec{b}\{6; 5\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot 6 + 6 \cdot 5 = -30 + 30 = 0$.
Ответ: $0$.

в) Даны векторы $\vec{a}\{1,5; 2\}$ и $\vec{b}\{4; -0,5\}$.
Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1,5 \cdot 4 + 2 \cdot (-0,5) = 6 - 1 = 5$.
Ответ: $5$.

1134 Докажите, что ненулевые векторы а {x; у} и b {−у; x} перпендикулярны.

Для того чтобы доказать, что два ненулевых вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно доказать, что их скалярное произведение равно нулю.

Даны два ненулевых вектора: $\vec{a}\{x; y\}$ и $\vec{b}\{-y; x\}$.

Найдем скалярное произведение этих векторов. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

Применим эту формулу к нашим векторам:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-y) + y \cdot x$

Упростим выражение:

$x \cdot (-y) + y \cdot x = -xy + yx = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю, а сами векторы по условию являются ненулевыми, это означает, что они перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x; y\}$ и $\vec{b}\{-y; x\}$ равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x(-y) + yx = -xy + xy = 0$. Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, они перпендикулярны, что и требовалось доказать.

1135 Докажите, что векторы i + j и i − j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.

Для того чтобы доказать, что два ненулевых вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно доказать, что их скалярное произведение равно нулю.

Обозначим данные векторы как $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{i} - \vec{j}$.

По условию, $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — координатные векторы. Это означает, что они образуют ортонормированный базис, и для них справедливы следующие свойства:
1. Они взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.
2. Они являются единичными векторами (ортами), то есть их длины (модули) равны единице: $|\vec{i}| = 1$ и $|\vec{j}| = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения (правило раскрытия скобок):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j})$
Раскроем скобки:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{i} \cdot \vec{i} - \vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{i} - \vec{j} \cdot \vec{j}$

Зная, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j}$), а также что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$), мы можем упростить выражение. Выражение $\vec{i} \cdot \vec{j}$ и $\vec{j} \cdot \vec{i}$ в сумме дают ноль, так как $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2$

Теперь подставим значения модулей координатных векторов:
$|\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны.

Альтернативное решение (через координаты):

В декартовой системе координат на плоскости координатные векторы имеют следующие координаты: $\vec{i} = \{1; 0\}$ и $\vec{j} = \{0; 1\}$.
Найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} = \{1; 0\} + \{0; 1\} = \{1+0; 0+1\} = \{1; 1\}$
$\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} = \{1; 0\} - \{0; 1\} = \{1-0; 0-1\} = \{1; -1\}$

Скалярное произведение векторов в координатах $\vec{u}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2; y_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Результат также равен нулю, что подтверждает перпендикулярность векторов.

Ответ: Скалярное произведение векторов $(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j})$ равно 0, следовательно, данные векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.

1136 При каком значении x векторы a и b перпендикулярны, если:
а) а {4; 5}, b {x; −6}; б) а {x; −1}, b {3; 2}; в) a {0; −3}, b {5; x}?

Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов с координатами $\vec{a}\{a_1; a_2\}$ и $\vec{b}\{b_1; b_2\}$ находится по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Следовательно, для перпендикулярности векторов должно выполняться условие:

$a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 0$

Применим это правило для решения каждого из подпунктов.

а)

Даны векторы $\vec{a}\{4; 5\}$ и $\vec{b}\{x; -6\}$. Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Составим уравнение:

$4 \cdot x + 5 \cdot (-6) = 0$

$4x - 30 = 0$

$4x = 30$

$x = \frac{30}{4} = 7.5$

Ответ: $7.5$.

б)

Даны векторы $\vec{a}\{x; -1\}$ и $\vec{b}\{3; 2\}$. Составим уравнение, приравняв скалярное произведение к нулю:

$x \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 0$

$3x - 2 = 0$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в)

Даны векторы $\vec{a}\{0; -3\}$ и $\vec{b}\{5; x\}$. Составим уравнение для скалярного произведения:

$0 \cdot 5 + (-3) \cdot x = 0$

$0 - 3x = 0$

$-3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

1137 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A (2; 8), В (−1; 5), С (3; 1).

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными вершинами A(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1) можно воспользоваться теоремой косинусов или скалярным произведением векторов. Второй способ часто является более прямым в координатной геометрии. Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

где $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — их длины (модули).

Найдем векторы, образующие углы треугольника.

1138 Найдите углы треугольника с вершинами A(-1; 3), B(1; -3) и C12; 3.

Для нахождения углов треугольника с заданными вершинами $A(-1; \sqrt{3})$, $B(1; -\sqrt{3})$ и $C(\frac{1}{2}; \sqrt{3})$, мы сначала вычислим длины его сторон, а затем применим теорему косинусов.

Длину отрезка между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости находят по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем сначала вычислять квадраты длин сторон.

Квадрат длины стороны $AB$, лежащей напротив вершины $C$ (обозначим ее $c$):
$c^2 = |AB|^2 = (1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 2^2 + (-2\sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 16$.
Отсюда длина стороны $c = \sqrt{16} = 4$.

Квадрат длины стороны $BC$, лежащей напротив вершины $A$ (обозначим ее $a$):
$a^2 = |BC|^2 = (\frac{1}{2} - 1)^2 + (\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 12 = \frac{1}{4} + \frac{48}{4} = \frac{49}{4}$.
Отсюда длина стороны $a = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

Квадрат длины стороны $AC$, лежащей напротив вершины $B$ (обозначим ее $b$):
$b^2 = |AC|^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\frac{3}{2})^2 + 0^2 = \frac{9}{4}$.
Отсюда длина стороны $b = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Теперь, зная длины всех сторон ($a = \frac{7}{2}$, $b = \frac{3}{2}$, $c = 4$), найдем углы треугольника с помощью теоремы косинусов. Формула для косинуса угла $A$: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

Вычислим косинус угла $A$ при вершине $A$:
$\cos(A) = \frac{\frac{9}{4} + 16 - \frac{49}{4}}{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4} = \frac{\frac{9 + 64 - 49}{4}}{12} = \frac{\frac{24}{4}}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Вычислим косинус угла $B$ при вершине $B$:
$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{\frac{49}{4} + 16 - \frac{9}{4}}{2 \cdot \frac{7}{2} \cdot 4} = \frac{\frac{49 + 64 - 9}{4}}{28} = \frac{\frac{104}{4}}{28} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.
Следовательно, $\angle B = \arccos(\frac{13}{14})$.

Вычислим косинус угла $C$ при вершине $C$:
$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\frac{49}{4} + \frac{9}{4} - 16}{2 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{58 - 64}{4}}{\frac{21}{2}} = \frac{-\frac{6}{4}}{\frac{21}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{21}{2}} = -\frac{3}{21} = -\frac{1}{7}$.
Следовательно, $\angle C = \arccos(-\frac{1}{7})$.

Ответ: $60^\circ$, $\arccos(\frac{13}{14})$, $\arccos(-\frac{1}{7})$.

1139 Вычислите | a + b | и | a − b |, если | a | = 5, | b | = 8, аb︿ = 60°.

Для вычисления модулей суммы и разности векторов воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, для любого вектора $\vec{c}$ справедливо равенство $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Также нам понадобится определение скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя данные из условия: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 8$ и угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

$|\vec{a} + \vec{b}|$

Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$, возведем его в квадрат. Используя формулу квадрата суммы и свойства скалярного произведения, получаем:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Теперь подставим известные значения в полученное выражение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 5^2 + 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 + 40 + 64 = 129$.

Следовательно, модуль суммы векторов равен корню из этого значения:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{129}$.

Ответ: $\sqrt{129}$.

$|\vec{a} - \vec{b}|$

Чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|$, поступим аналогично, возведя его в квадрат:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5^2 - 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 - 40 + 64 = 49$.

Извлекая квадратный корень, находим модуль разности векторов:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $7$.

1140 Известно, что ас︿ = bс︿ = 60°, | a | = 1, | b | = | c | = 2. Вычислите (a + b) ⋅ с.

Для решения задачи воспользуемся свойством дистрибутивности (распределительности) скалярного произведения относительно сложения векторов. Это свойство позволяет нам раскрыть скобки в выражении $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь нам нужно вычислить каждое из двух скалярных произведений: $\vec{a} \cdot \vec{c}$ и $\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей (длин) на косинус угла между ними. Формула имеет вид: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos(\widehat{\vec{x}\vec{y}})$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• $|\vec{a}| = 1$
• $|\vec{b}| = 2$
• $|\vec{c}| = 2$
• Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$ ($\widehat{\vec{a}\vec{c}}=60^\circ$).
• Угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$ ($\widehat{\vec{b}\vec{c}}=60^\circ$).

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Вычислим $\vec{a} \cdot \vec{c}$:

Подставляем известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{c}}) = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Вычислим $\vec{b} \cdot \vec{c}$:

Аналогично подставляем значения для векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{b}\vec{c}}) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Найдем итоговое значение:

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти значение исходного выражения:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3

1141 Вычислите скалярное произведение векторов p = a − b − с и q = a − b + с, если | a | = 5, | b | = 2, | с | = 4 и a ⊥ b.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ необходимо найти произведение $(\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$.

Воспользуемся свойствами скалярного произведения. Заметим, что выражение можно сгруппировать и применить формулу разности квадратов: $(X - Y) \cdot (X + Y) = X^2 - Y^2$. Пусть $X = (\vec{a} - \vec{b})$ и $Y = \vec{c}$.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = ((\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}) \cdot ((\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c}) = (\vec{a} - \vec{b})^2 - \vec{c}^2$

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Таким образом, получаем:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$

Теперь раскроем квадрат модуля разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

По условию задачи нам даны модули векторов:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 2$

$|\vec{c}| = 4$

Также известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$). Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Теперь подставим все известные значения в наши выражения.

Сначала вычислим $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 5^2 - 2(0) + 2^2 = 25 - 0 + 4 = 29$

Теперь вычислим итоговое скалярное произведение $\vec{p} \cdot \vec{q}$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 29 - 4^2 = 29 - 16 = 13$

Ответ: 13

1142 Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a = 3p − 2q и b = p + 4q, где p и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо использовать их выражения через векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$, а также свойства этих векторов, указанные в условии.

По условию, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ — единичные. Это значит, что их длины (модули) равны 1. Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины, поэтому: $|\vec{p}| = 1 \implies \vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1^2 = 1$ $|\vec{q}| = 1 \implies \vec{q} \cdot \vec{q} = |\vec{q}|^2 = 1^2 = 1$

Также по условию, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю: $\vec{p} \perp \vec{q} \implies \vec{p} \cdot \vec{q} = 0$. Поскольку скалярное произведение коммутативно (то есть $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$), то и $\vec{q} \cdot \vec{p} = 0$.

Теперь найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, подставив их выражения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p} - 2\vec{q}) \cdot (\vec{p} + 4\vec{q})$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения (раскрывая скобки как произведение многочленов), получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p}) \cdot \vec{p} + (3\vec{p}) \cdot (4\vec{q}) - (2\vec{q}) \cdot \vec{p} - (2\vec{q}) \cdot (4\vec{q})$

Вынесем скалярные множители за знак произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) + 12(\vec{p} \cdot \vec{q}) - 2(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 8(\vec{q} \cdot \vec{q})$

Подставим ранее определённые значения для скалярных произведений $\vec{p} \cdot \vec{p}$, $\vec{q} \cdot \vec{q}$ и $\vec{p} \cdot \vec{q}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) + 12(0) - 2(0) - 8(1)$

Выполним арифметические действия: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 0 - 0 - 8 = -5$

Ответ: -5

1143 Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка M — середина отрезка ВС, поэтому 2AM = AB + AC. Отсюда получаем

или 4AM² = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos А.

Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

Доказательство формулы $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM$ — медиана. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$.

В векторной алгебре для медианы треугольника справедливо следующее равенство: вектор медианы, проведенный из вершины, равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и образующих стороны треугольника. Для медианы $AM$ это выглядит так:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Домножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$

Для нахождения квадрата длины медианы $AM$ необходимо найти скалярный квадрат вектора $2\vec{AM}$. Скалярный квадрат вектора — это скалярное произведение вектора на самого себя. Возведем обе части векторного равенства в скалярный квадрат:

$(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Рассмотрим левую часть равенства. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $(2\vec{AM}) \cdot (2\vec{AM}) = 4(\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = 4|\vec{AM}|^2 = 4AM^2$.

Рассмотрим правую часть равенства, раскрыв скобки по правилу скалярного умножения векторов:

$(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Используя свойство скалярного квадрата ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$) и определение скалярного произведения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$), преобразуем правую часть:

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2$
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = AC^2$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = AB \cdot AC \cdot \cos A$

Подставим полученные выражения обратно в правую часть:

$AB^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A + AC^2$

Приравнивая левую и правую части, получаем искомую формулу:

$4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

Формула доказана.

Ответ: Утверждение, что если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$, доказано.

Доказательство того, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны, то есть $AB = AC$. Пусть $BC$ — основание.

Проведем медиану $BN$ к боковой стороне $AC$ и медиану $CL$ к боковой стороне $AB$. Необходимо доказать, что их длины равны, то есть $BN = CL$.

Для доказательства воспользуемся выведенной выше формулой. Эта формула позволяет найти длину медианы, проведенной из одной вершины, зная длины двух сторон, выходящих из этой вершины, и косинус угла между ними.

1. Найдем длину медианы $BN$, проведенной из вершины $B$. Стороны, выходящие из этой вершины, — $BA$ и $BC$. Угол между ними — $\angle B$. Применяем формулу:

$4BN^2 = BA^2 + BC^2 + 2 \cdot BA \cdot BC \cdot \cos B$

2. Найдем длину медианы $CL$, проведенной из вершины $C$. Стороны, выходящие из этой вершины, — $CA$ и $CB$. Угол между ними — $\angle C$. Применяем формулу:

$4CL^2 = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C$

3. Сравним полученные выражения для $4BN^2$ и $4CL^2$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$:

• Боковые стороны равны: $BA = CA$.
• Углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Следовательно, $\cos B = \cos C$.
• Сторона $BC$ равна стороне $CB$ (это одна и та же сторона).

Учитывая эти свойства, мы видим, что правые части выражений для $4BN^2$ и $4CL^2$ идентичны:

$BA^2 + BC^2 + 2 \cdot BA \cdot BC \cdot \cos B = CA^2 + CB^2 + 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C$

Следовательно, равны и левые части:

$4BN^2 = 4CL^2$

Разделим обе части на 4:

$BN^2 = CL^2$

Так как длина отрезка — величина положительная, из равенства квадратов длин следует равенство самих длин:

$BN = CL$

Таким образом, доказано, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: Доказано, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.