Номер 1031, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1031 Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА = а и BC = d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (b; с).

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Согласно условию, начало координат находится в точке $O$, поэтому ее координаты $O(0, 0)$.

Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а длина основания $OA$ равна $a$. Следовательно, координаты точки $A$ будут $A(a, 0)$.

Вершина $B$ имеет заданные координаты $B(b, c)$.

Трапеция $OBCA$ имеет основания $OA$ и $BC$. Это означает, что прямая $BC$ параллельна прямой $OA$. Поскольку прямая $OA$ совпадает с осью абсцисс $Ox$, прямая $BC$ должна быть параллельна оси $Ox$. Это значит, что все точки на прямой $BC$ имеют одинаковую ординату. Так как ордината точки $B$ равна $c$, то и ордината точки $C$ также равна $c$. Обозначим абсциссу точки $C$ как $x_C$. Таким образом, координаты точки $C$ — это $C(x_C, c)$.

Длина основания $BC$ равна $d$. Используем формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти $x_C$:$BC = \sqrt{(x_C - b)^2 + (c - c)^2} = \sqrt{(x_C - b)^2} = |x_C - b|$.

Из условия $BC = d$ следует, что $|x_C - b| = d$. Это уравнение имеет два решения: $x_C - b = d$ или $x_C - b = -d$. Отсюда $x_C = b+d$ или $x_C = b-d$.

Для однозначного определения положения точки $C$ примем стандартное соглашение, что для трапеции $OBCA$ с основаниями $OA$ и $BC$ векторы $\vec{OA}$ и $\vec{CB}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), чтобы трапеция была несамопересекающейся.Вектор $\vec{OA}$ имеет координаты $(a, 0)$. Поскольку точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, $a>0$, и вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль положительного направления оси $Ox$.Вектор $\vec{CB}$ имеет координаты $(b - x_C, c - c) = (b - x_C, 0)$.Для того чтобы вектор $\vec{CB}$ был сонаправлен с $\vec{OA}$, его первая координата должна быть положительной: $b - x_C > 0$, что означает $x_C < b$.

Рассмотрим два возможных значения для $x_C$:1. $x_C = b+d$. В этом случае $b - x_C = b - (b+d) = -d$. Так как длина $d > 0$, это значение отрицательно, что противоречит условию сонаправленности.2. $x_C = b-d$. В этом случае $b - x_C = b - (b-d) = d$. Это значение положительно.

Таким образом, абсцисса точки $C$ однозначно определяется как $x_C = b-d$. Координаты вершины $C$ равны $(b-d, c)$.

Теперь мы можем найти длины требуемых отрезков, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Сторона AC

Найдем расстояние между точками $A(a, 0)$ и $C(b-d, c)$:$AC = \sqrt{((b-d) - a)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b-d-a)^2 + c^2}$.Выражение в скобках можно записать как $-(a-b+d)$, и так как $(-x)^2 = x^2$, получаем:$AC = \sqrt{(a-b+d)^2 + c^2}$.

Ответ: $AC = \sqrt{(a-b+d)^2 + c^2}$.

Диагональ OC

Найдем расстояние между точками $O(0, 0)$ и $C(b-d, c)$:$OC = \sqrt{((b-d) - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{(b-d)^2 + c^2}$.

Ответ: $OC = \sqrt{(b-d)^2 + c^2}$.