Номер 1000, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора - номер 1000, страница 251.

Условие.

1000 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b − 2a и а? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить как произведение другого на некоторое число (скаляр). Из условия, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, следует существование такого числа $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это соотношение является ключом к решению. (Если $\vec{a} = \vec{0}$, то он по определению коллинеарен любому вектору, и утверждения в задаче также верны. Далее считаем, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

а)

Рассмотрим векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Чтобы проверить их коллинеарность, выразим первый вектор через $\vec{a}$, используя известное соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$: $ \vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a}) = \vec{a} + (3k)\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (1 + 3k)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1 + 3k)$. По определению, это означает, что векторы коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.

б)

Рассмотрим векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим $\vec{b} = k\vec{a}$ в первый вектор: $ \vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (k - 2)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k - 2)$. Следовательно, эти векторы также коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.