Номер 1000, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Координаты вектора. 94. Координаты вектора. Глава 11. Метод координат - номер 1000, страница 251.

1000 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b − 2a и а? Ответ обоснуйте.

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить как произведение другого на некоторое число (скаляр). Из условия, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, следует существование такого числа $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это соотношение является ключом к решению. (Если $\vec{a} = \vec{0}$, то он по определению коллинеарен любому вектору, и утверждения в задаче также верны. Далее считаем, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

а)

Рассмотрим векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Чтобы проверить их коллинеарность, выразим первый вектор через $\vec{a}$, используя известное соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$: $ \vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a}) = \vec{a} + (3k)\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (1 + 3k)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1 + 3k)$. По определению, это означает, что векторы коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.

б)

Рассмотрим векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Аналогично предыдущему пункту, подставим $\vec{b} = k\vec{a}$ в первый вектор: $ \vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a} $ Вынеся $\vec{a}$ за скобки, получаем: $ (k - 2)\vec{a} $ Таким образом, вектор $\vec{b} - 2\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k - 2)$. Следовательно, эти векторы также коллинеарны.
Ответ: да, коллинеарны.