Номер 994, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

994 Точка С делит отрезок AB в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

По условию, точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $m:n$, считая от точки $A$. Это означает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB$ и выполняется соотношение длин отрезков $AC$ и $CB$:

$\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$

Отсюда следует, что $n \cdot AC = m \cdot CB$.

Поскольку точка $C$ находится между точками $A$ и $B$, векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ коллинеарны и сонаправлены. Следовательно, для них справедливо векторное равенство:

$n \cdot \overrightarrow{AC} = m \cdot \overrightarrow{CB}$

Пусть $O$ — произвольная точка пространства. Выразим векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ через векторы с началом в точке $O$ по правилу разности векторов (правило треугольника):

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

Подставим эти выражения в полученное ранее векторное равенство:

$n \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = m \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$

Раскроем скобки в уравнении:

$n \cdot \overrightarrow{OC} - n \cdot \overrightarrow{OA} = m \cdot \overrightarrow{OB} - m \cdot \overrightarrow{OC}$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\overrightarrow{OC}$, в левой части равенства, а остальные слагаемые — в правой:

$n \cdot \overrightarrow{OC} + m \cdot \overrightarrow{OC} = n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}$

Вынесем общий векторный множитель $\overrightarrow{OC}$ за скобки в левой части:

$(n + m) \cdot \overrightarrow{OC} = n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}$

Так как $m$ и $n$ являются частями отношения длин, они представляют собой положительные числа, поэтому их сумма $m+n \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $m+n$, чтобы выразить $\overrightarrow{OC}$:

$\overrightarrow{OC} = \frac{n \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB}}{m+n}$

Разделив почленно, получаем искомое равенство:

$\overrightarrow{OC} = \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$

Таким образом, мы доказали, что данное равенство справедливо для любой точки $O$.

Ответ: Равенство доказано.