Номер 20, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Вопросы для повторения к главе 10 - номер 20, страница 244.

Условие.

20 Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Сформулируйте
Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины боковых (непараллельных) сторон трапеции.
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин этих оснований.

Докажите
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции.
Требуется доказать: 1) $MN \parallel AD$ (и $MN \parallel BC$); 2) $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:
1. Проведём прямую через вершину $B$ и точку $N$ до её пересечения с продолжением основания $AD$. Точку пересечения обозначим $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.
• $CN = ND$ (по условию, так как $N$ — середина стороны $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $BC \parallel AE$ (так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции). Следовательно, $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).
Таким образом, $\triangle BCN = \triangle EDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ следует равенство их соответствующих сторон: $BC = DE$ и $BN = NE$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.
• $M$ — середина стороны $AB$ (по условию).
• $N$ — середина стороны $BE$ (так как $BN = NE$ по доказанному).
Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.

5. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине.
• $MN \parallel AE$. Так как прямая $AE$ содержит основание $AD$, то $MN \parallel AD$. Поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть теоремы доказана.
• $MN = \frac{1}{2} AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$: $AE = AD + DE$. Так как из пункта 3 мы знаем, что $DE = BC$, то $AE = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для $MN$: $MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы доказана.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований. Если основания трапеции равны $a$ и $b$, то длина средней линии $m$ находится по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$.