Страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

6 Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки А». Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Объясните смысл выражения: «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A»
Выражение «вектор $\vec{a}$ отложен от точки A» означает, что построен такой вектор, у которого начало находится в точке A, и который равен данному вектору $\vec{a}$.
Если обозначить конец этого вектора буквой B, то получится вектор $\vec{AB}$. Равенство векторов $\vec{AB} = \vec{a}$ означает выполнение двух условий:

1. Их длины (модули) равны: $|\vec{AB}| = |\vec{a}|$.
2. Они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону).

Таким образом, отложить вектор $\vec{a}$ от точки A — это найти такую точку B, что вектор $\vec{AB}$ будет иметь ту же длину и то же направление, что и вектор $\vec{a}$.
Ответ: Выражение «Вектор $\vec{a}$ отложен от точки A» означает, что построили вектор $\vec{AB}$ такой, что $\vec{AB} = \vec{a}$. То есть, точка A является началом вектора, равного вектору $\vec{a}$.

Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Это утверждение можно разбить на две части: доказательство существования такого вектора и доказательство его единственности.
Пусть дана произвольная точка A и произвольный вектор $\vec{a}$.

1. Доказательство существования.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Вектор $\vec{a}$ — нулевой, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. Нулевой вектор имеет длину 0. Чтобы отложить его от точки A, нужно найти точку B, для которой $\vec{AB} = \vec{0}$. Это выполняется, когда точки A и B совпадают. Таким образом, искомый вектор — это $\vec{AA}$, он равен нулевому вектору. Следовательно, отложить нулевой вектор от любой точки возможно.
Случай 2: Вектор $\vec{a}$ — ненулевой. Он имеет определенную длину $|\vec{a}| > 0$ и определенное направление. Через точку A проведем прямую, параллельную прямой, на которой лежит вектор $\vec{a}$ (согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна). На этой прямой, начиная от точки A, выберем луч (направление), который сонаправлен вектору $\vec{a}$. На этом луче от точки A отложим отрезок AB, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$: $|AB| = |\vec{a}|$. Построение такого отрезка всегда возможно и однозначно.
В результате мы построили вектор $\vec{AB}$, который по построению сонаправлен вектору $\vec{a}$ и имеет равную с ним длину. По определению равенства векторов, $\vec{AB} = \vec{a}$.
Таким образом, существование вектора, равного данному и отложенного от любой точки, доказано.

2. Доказательство единственности.
Предположим, что от точки A можно отложить два различных вектора, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$, которые оба равны вектору $\vec{a}$. То есть, мы предполагаем, что $B_1$ и $B_2$ — это разные точки ($B_1 \neq B_2$).
Из нашего предположения следует, что $\vec{AB_1} = \vec{a}$ и $\vec{AB_2} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{AB_2}$.
Равенство векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AB_2}$ означает, что они:

1. Имеют равные длины: $|AB_1| = |AB_2|$.
2. Сонаправлены.

Поскольку оба вектора начинаются в одной и той же точке A, их сонаправленность означает, что точки $B_1$ и $B_2$ лежат на одном и том же луче, выходящем из точки A.
Но на одном луче от его начала можно отложить только одну точку на заданном расстоянии. Так как $|AB_1| = |AB_2|$, то точки $B_1$ и $B_2$ должны совпадать.
Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $B_1 \neq B_2$. Следовательно, наше предположение было неверным, и существует только одна такая точка B. Это означает, что от точки A можно отложить только один вектор, равный данному вектору $\vec{a}$.
Ответ: Утверждение доказано. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

7 Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?

Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов.

Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, который получается в результате последовательного применения (перемещения) этих векторов.

Чтобы геометрически построить сумму двух векторов, нужно:

1. От произвольной точки $A$ отложить вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$.
2. От конца полученного вектора (точки $B$) отложить вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{b}$.
3. Вектор $\vec{AC}$, проведенный из начальной точки первого вектора ($A$) в конечную точку второго вектора ($C$), и будет являться суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Таким образом, $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}$.

Если векторы заданы в координатной форме, например, на плоскости $\vec{a}=(x_1, y_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2)$, то их сумма — это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат слагаемых векторов:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$

Этот принцип сохраняется и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c}$, направленный из начала вектора $\vec{a}$ в конец вектора $\vec{b}$ при условии, что начало вектора $\vec{b}$ совмещено с концом вектора $\vec{a}$. В координатах, каждая координата вектора суммы равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых.

В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?

Правило треугольника — это геометрический метод сложения двух векторов, который наглядно иллюстрирует определение суммы векторов. Суть правила заключается в следующем:

Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Взять первый вектор $\vec{a}$.
2. К концу (наконечнику) вектора $\vec{a}$ приставить начало (исходную точку) вектора $\vec{b}$.
3. Провести новый вектор из начала вектора $\vec{a}$ в конец вектора $\vec{b}$. Этот новый вектор и будет их суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Название "правило треугольника" происходит от того, что три вектора — $\vec{a}$, $\vec{b}$ и их сумма $\vec{a} + \vec{b}$ — образуют стороны треугольника. Если представить, что $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$, то их сумма будет вектором $\vec{AC}$, который является третьей стороной треугольника $ABC$. Таким образом, можно записать равенство: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Ответ: Правило треугольника сложения двух векторов гласит, что если два вектора отложены последовательно друг от друга (начало второго вектора совпадает с концом первого), то их сумма представляет собой вектор, проведенный из начала первого вектора в конец второго, замыкая таким образом треугольник.

8 Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство а + 0 = а.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ можно использовать два подхода: геометрический (основанный на правилах сложения векторов) и алгебраический (основанный на координатах векторов).

1. Геометрическое доказательство

Вектор — это направленный отрезок. Пусть дан произвольный вектор $\vec{a}$. Мы можем представить его как вектор $\vec{AB}$, где $A$ — его начальная точка, а $B$ — конечная. Таким образом, $\vec{a} = \vec{AB}$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его можно представить как вектор, идущий из любой точки в саму себя, например, $\vec{BB}$ или $\vec{AA}$.

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника: чтобы сложить два вектора, нужно от конца первого вектора отложить второй. Суммой будет вектор, идущий от начала первого к концу второго. В виде формулы: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Применим это правило для сложения векторов $\vec{a}$ и $\vec{0}$. Чтобы сложить $\vec{AB}$ и $\vec{0}$, отложим нулевой вектор от точки $B$. Получим вектор $\vec{BB}$.

Тогда сумма будет выглядеть так:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{AB} + \vec{BB}$

По правилу треугольника, результирующий вектор начинается в точке $A$ (начало первого вектора) и заканчивается в точке $B$ (конец второго вектора). Значит:

$\vec{AB} + \vec{BB} = \vec{AB}$

А поскольку $\vec{AB} = \vec{a}$, мы доказали, что $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

2. Координатное доказательство

Рассмотрим векторы в системе координат. Пусть в n-мерном пространстве вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1, a_2, ..., a_n)$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ в той же системе координат имеет все координаты, равные нулю: $(0, 0, ..., 0)$.

По определению, сложение векторов в координатах производится путем сложения их соответствующих компонент. То есть, если $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, то координаты вектора $\vec{c}$ равны $(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)$.

Вычислим сумму $\vec{a} + \vec{0}$:

$\vec{a} + \vec{0} = (a_1, a_2, ..., a_n) + (0, 0, ..., 0) = (a_1+0, a_2+0, ..., a_n+0)$

Так как сложение с нулем не изменяет число ($x+0=x$), получаем:

$(a_1+0, a_2+0, ..., a_n+0) = (a_1, a_2, ..., a_n)$

Полученные координаты в точности совпадают с координатами вектора $\vec{a}$. Следовательно, $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Оба метода доказывают, что равенство справедливо для любого вектора $\vec{a}$.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ доказано. Сложение любого вектора с нулевым вектором не изменяет исходный вектор, так как нулевой вектор соответствует нулевому смещению в пространстве.

9 Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Теорема: Законы сложения векторов

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы следующие равенства (законы):

1. Переместительный (коммутативный) закон: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
2. Сочетательный (ассоциативный) закон: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Доказательство теоремы

1. Доказательство переместительного закона

Докажем, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Отложим от произвольной точки $A$ векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. На этих векторах как на сторонах построим параллелограмм $ABCD$.

По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна $\vec{AB} + \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

С другой стороны, сумма векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$ равна $\vec{AD} + \vec{DC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$. Следовательно, $\vec{b} + \vec{a} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Так как обе суммы, $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{b} + \vec{a}$, равны одному и тому же вектору $\vec{AC}$, то $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то их сумма находится путем последовательного откладывания на одной прямой. Очевидно, что и в этом случае результат не зависит от порядка слагаемых.

Ответ: Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$, что доказывает переместительный закон.

2. Доказательство сочетательного закона

Докажем, что для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Отложим от произвольной точки $A$ последовательно векторы $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{b}$ и $\vec{CD} = \vec{c}$.

Найдем сумму в левой части равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$.

По правилу треугольника, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Далее, прибавив вектор $\vec{c}$, получим: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Теперь найдем сумму в правой части равенства: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

По правилу треугольника, $\vec{b} + \vec{c} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.

Далее, прибавив к вектору $\vec{a}$, получим: $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Поскольку левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, то $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Ответ: Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$, что доказывает сочетательный закон.

10 В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?

Правило параллелограмма — это геометрический (графический) метод сложения двух неколлинеарных векторов. Неколлинеарными называются векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Суть правила заключается в следующем алгоритме:

1. Возьмём два неколлинеарных вектора, например, $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Отложим эти векторы от одной произвольной точки (начала) $O$. В результате получим векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, выходящие из одной точки.

3. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на смежных сторонах построим параллелограмм $OACB$. Для этого через точку $A$ нужно провести прямую, параллельную вектору $\vec{b}$, а через точку $B$ — прямую, параллельную вектору $\vec{a}$. Точка $C$ будет точкой пересечения этих прямых.

4. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет равен вектору, который совпадает с диагональю $OC$ построенного параллелограмма. Важно, что эта диагональ должна выходить из той же общей точки $O$, из которой были отложены исходные векторы. Таким образом, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Ответ: Правило параллелограмма заключается в том, что для сложения двух неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их откладывают от общего начала, а затем строят на них как на сторонах параллелограмм. Вектор-сумма $\vec{a} + \vec{b}$ представляет собой диагональ этого параллелограмма, исходящую из того же общего начала.

11 В чём заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

Правило многоугольника — это графический метод для нахождения суммы (результирующего вектора) нескольких векторов. Оно является естественным обобщением правила треугольника, которое используется для сложения двух векторов.

Чтобы найти сумму $n$ векторов $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}$ по правилу многоугольника, необходимо выполнить следующие последовательные действия:

1. Из произвольной точки на плоскости или в пространстве (назовем ее $O$) откладывается первый вектор $\vec{a_1}$.

2. От конца первого вектора откладывается второй вектор $\vec{a_2}$ (то есть начало вектора $\vec{a_2}$ совмещается с концом вектора $\vec{a_1}$).

3. От конца второго вектора откладывается третий вектор $\vec{a_3}$, и так далее.

4. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет отложен последний вектор $\vec{a_n}$.

В результате этих построений получается ломаная линия, составленная из исходных векторов.

Суммой (или результирующим вектором) $\vec{S}$ является вектор, который замыкает эту ломаную. Его начало совпадает с началом первого вектора $\vec{a_1}$, а его конец — с концом последнего вектора $\vec{a_n}$.

Математически это записывается как сумма векторов:

$\vec{S} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \dots + \vec{a_n}$

Важный частный случай: если конец последнего вектора в построенной цепочке совпадает с началом первого, то ломаная линия становится замкнутой. В этом случае сумма векторов равна нулевому вектору, так как начало и конец результирующего вектора совпадают.

$\vec{a_1} + \vec{a_2} + \dots + \vec{a_n} = \vec{0}$

Ответ: Правило многоугольника для сложения нескольких векторов заключается в их последовательном построении таким образом, что начало каждого следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Результирующий вектор (сумма) представляет собой вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, замыкая таким образом построенную векторную ломаную.

12 Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов.

Какой вектор называется разностью двух векторов?

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой третий вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это определение можно записать в виде равенства: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, если выполняется условие $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$.

Также разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (то есть вектора $-\vec{b}$). Математически это выглядит так: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Этот подход часто используется для геометрического построения разности.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$.

Постройте разность двух данных векторов.

Для построения разности двух произвольных ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно использовать два основных геометрических способа.

Способ 1: Правило треугольника для вычитания

1. Отложите векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки, например, точки O. В результате получатся векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. Соедините конец вектора $\vec{b}$ (точка B) с концом вектора $\vec{a}$ (точка A).
3. Полученный вектор $\vec{BA}$ и будет являться искомой разностью $\vec{a} - \vec{b}$. Важно обратить внимание, что вектор разности направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).

Способ 2: Сложение с противоположным вектором

1. Начертите вектор $\vec{a}$.
2. Постройте вектор $-\vec{b}$, который имеет такую же длину, что и вектор $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.
3. Примените правило сложения векторов (правило треугольника): отложите вектор $-\vec{b}$ от конца вектора $\vec{a}$.
4. Вектор, соединяющий начало вектора $\vec{a}$ и конец построенного вектора $-\vec{b}$, является их суммой и, следовательно, искомой разностью $\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Для построения разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ следует отложить их от одной точки (например, O) так, чтобы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Вектор $\vec{BA}$, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$, и будет их разностью $\vec{a} - \vec{b}$.

13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Какой вектор называется противоположным данному?

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины (модули) равны, а направления противоположны. Вектором, противоположным нулевому вектору, является сам нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$.

Свойства противоположных векторов:

• $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$ (длины равны).
• Если $\vec{a} \neq \vec{0}$, то векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow -\vec{a}$).
• Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Геометрически, если вектор представлен направленным отрезком $\vec{AB}$, то противоположным ему будет вектор $\vec{BA}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Ответ: Противоположным данному вектору $\vec{a}$ называется такой вектор $-\vec{a}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но противоположное ему направление. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Определение разности векторов: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это записывается как $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, и из определения следует, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Формулировка теоремы: Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их разность равна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Иначе говоря, справедливо равенство:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Доказательство:

По определению разности векторов, нам нужно найти такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Докажем, что вектор $\vec{d} = \vec{a} + (-\vec{b})$ и есть искомый вектор $\vec{c}$.

Для этого покажем, что сумма вектора $\vec{d}$ и вектора $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.

Рассмотрим сумму $\vec{d} + \vec{b}$:$\vec{d} + \vec{b} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b}$

Используя ассоциативное (сочетательное) свойство сложения векторов, сгруппируем слагаемые:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b})$

Сумма противоположных векторов $(-\vec{b}) + \vec{b}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + \vec{b}) = \vec{a} + \vec{0}$

Сумма любого вектора с нулевым вектором равна самому этому вектору:

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Мы получили, что $(\vec{a} + (-\vec{b})) + \vec{b} = \vec{a}$, что полностью соответствует определению разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Следовательно, вектор $\vec{a} + (-\vec{b})$ и есть разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о разности векторов гласит, что для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их разность эквивалентна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$, то есть $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Доказательство строится на определении разности и свойствах сложения векторов.

14 Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

Произведением данного вектора $\vec{a}$ на данное число (которое также называют скаляром) $k$ называется новый вектор, обозначаемый как $k\vec{a}$ или $k \cdot \vec{a}$. Определение этого результирующего вектора зависит от того, являются ли исходный вектор и число нулевыми.

1. Случай, когда вектор $\vec{a}$ ненулевой ($\vec{a} \neq \vec{0}$) и число $k$ не равно нулю ($k \neq 0$).
В этом случае произведением является вектор, который характеризуется следующими свойствами:
а) Модуль (длина). Модуль результирующего вектора равен произведению модуля исходного вектора на модуль числа $k$.
Формула: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Это означает, что исходный вектор растягивается (если $|k|>1$), сжимается (если $0 < |k| < 1$) или остается той же длины (если $|k|=1$).
б) Направление. Результирующий вектор всегда коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$ (т.е. лежит на той же прямой или на параллельной ей). Конкретное направление зависит от знака числа $k$:
- Если $k > 0$ (число положительное), то направление вектора $k\vec{a}$ совпадает с направлением вектора $\vec{a}$. Векторы называются сонаправленными ($k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$).
- Если $k < 0$ (число отрицательное), то направление вектора $k\vec{a}$ противоположно направлению вектора $\vec{a}$. Векторы называются противоположно направленными ($k\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$).

2. Случай, когда вектор $\vec{a}$ нулевой ($\vec{a} = \vec{0}$) или число $k$ равно нулю ($k=0$).
Если выполняется хотя бы одно из этих условий, то произведение по определению считается равным нулевому вектору (вектору, у которого начало и конец совпадают).
$k \cdot \vec{0} = \vec{0}$ для любого числа $k$.
$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ для любого вектора $\vec{a}$.

Ответ: Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$. Направление этого вектора совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$. Если $\vec{a} = \vec{0}$ или $k = 0$, то произведение равно нулевому вектору.

15 Чему равно произведение kа, если: а) а = 0; б) k = 0?

а)

В этом случае необходимо найти произведение скаляра $k$ на нулевой вектор $\overset{+}{a} = \overset{+}{0}$.

Произведением скаляра (числа) $k$ на вектор $\overset{+}{a}$ является вектор, обозначаемый $k\overset{+}{a}$. Длина (модуль) этого вектора равна произведению модуля скаляра на модуль вектора, то есть $|k\overset{+}{a}| = |k| \cdot |\overset{+}{a}|$.

Модуль нулевого вектора $\overset{+}{0}$ по определению равен нулю: $|\overset{+}{0}| = 0$.

Поскольку по условию $\overset{+}{a} = \overset{+}{0}$, то и модуль этого вектора $|\overset{+}{a}| = 0$. Найдем модуль результирующего вектора, подставив значение модуля вектора $\overset{+}{a}$: $|k\overset{+}{a}| = |k| \cdot |\overset{+}{a}| = |k| \cdot 0 = 0$.

Единственный вектор, модуль которого равен нулю, — это нулевой вектор $\overset{+}{0}$. Следовательно, если $\overset{+}{a} = \overset{+}{0}$, то произведение $k\overset{+}{a}$ равно $\overset{+}{0}$.

Ответ: $k\overset{+}{a} = \overset{+}{0}$.

б)

В этом случае необходимо найти произведение скаляра $k=0$ на произвольный вектор $\overset{+}{a}$.

Воспользуемся тем же правилом для нахождения модуля результирующего вектора: $|k\overset{+}{a}| = |k| \cdot |\overset{+}{a}|$.

По условию скаляр $k=0$, следовательно, его модуль $|k| = |0| = 0$. Подставим это значение в формулу: $|k\overset{+}{a}| = |0| \cdot |\overset{+}{a}| = 0 \cdot |\overset{+}{a}| = 0$.

Модуль результирующего вектора равен нулю, независимо от того, каким был исходный вектор $\overset{+}{a}$. Вектор, модуль которого равен нулю, — это нулевой вектор $\overset{+}{0}$. Следовательно, если $k=0$, то произведение $k\overset{+}{a}$ равно $\overset{+}{0}$.

Ответ: $k\overset{+}{a} = \overset{+}{0}$.

16 Могут ли векторы a и ka быть неколлинеарными?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определению коллинеарных векторов и операции умножения вектора на число (скаляр).

Определение коллинеарности: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор $\vec{0}$ по определению считается коллинеарным любому вектору.

Критерием коллинеарности для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является существование такого действительного числа $k$, что выполняется равенство: $ \vec{b} = k\vec{a} $ Это условие является необходимым и достаточным (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

В задаче рассматриваются векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$. По своей сути, вектор $k\vec{a}$ получен из вектора $\vec{a}$ путем умножения на скаляр $k$. Эта операция по определению создает вектор, который коллинеарен исходному. Геометрически умножение на скаляр $k$ приводит к изменению длины исходного вектора в $|k|$ раз и изменению направления на противоположное, если $k < 0$. Направление вектора остается на той же прямой (или на параллельной ей).

Рассмотрим все возможные случаи:

• Если вектор $\vec{a}$ не является нулевым ($\vec{a} \neq \vec{0}$):
  • При $k > 0$ вектор $k\vec{a}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$. Они лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, следовательно, коллинеарны.
  • При $k < 0$ вектор $k\vec{a}$ будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{a}$. Они лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны, следовательно, они также коллинеарны.
  • При $k = 0$ вектор $k\vec{a}$ становится нулевым вектором: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, включая $\vec{a}$.
• Если вектор $\vec{a}$ является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то и вектор $k\vec{a}$ также будет нулевым ($k\vec{0} = \vec{0}$). Два нулевых вектора считаются коллинеарными.

Таким образом, ни при каких значениях скаляра $k$ и ни для какого вектора $\vec{a}$ (нулевого или ненулевого) векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ не могут быть неколлинеарными. Их коллинеарность следует непосредственно из определения операции умножения вектора на число.

Ответ: Нет, не могут.

17 Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Умножение вектора на число (скаляр) — это операция, в результате которой получается новый вектор, коллинеарный исходному. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — произвольные векторы, а $k$ и $m$ — произвольные действительные числа (скаляры). Для этой операции справедливы следующие основные свойства:

• Сочетательный закон (ассоциативность)

  Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $m$ выполняется равенство: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$. Это свойство означает, что можно сначала перемножить числа, а затем результат умножить на вектор, либо умножать вектор на числа последовательно.

• Первый распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения векторов)

  Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого числа $k$ выполняется равенство: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$. Это свойство позволяет умножить число на каждый из слагаемых векторов по отдельности, а затем сложить результаты.

• Второй распределительный закон (дистрибутивность относительно сложения чисел)

  Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $m$ выполняется равенство: $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$. Это свойство позволяет умножить вектор на каждое из слагаемых чисел по отдельности, а затем сложить полученные векторы.

• Свойство умножения на единицу

  Для любого вектора $\vec{a}$ выполняется равенство: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$. Умножение вектора на число 1 не изменяет его, то есть число 1 является нейтральным элементом для данной операции.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов составляют аксиомы линейного (или векторного) пространства.

Ответ: Основные свойства умножения вектора на число для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и чисел $k, m$:
1. Сочетательный закон: $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$.
2. Распределительный закон относительно сложения векторов: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.
3. Распределительный закон относительно сложения чисел: $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$.
4. Свойство умножения на единицу: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

18 Приведите пример применения векторов к решению геометрических задач.

Векторный метод является мощным инструментом для решения многих геометрических задач. Он позволяет перевести геометрические утверждения на язык алгебры, что часто упрощает рассуждения и выкладки. Рассмотрим в качестве примера доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть дан треугольник $ABC$. Для удобства вычислений выберем начало координат в одной из вершин, например, в точке $A$. Тогда радиус-вектор точки $A$ равен нулевому вектору: $\vec{AA} = \vec{0}$. Радиус-векторы вершин $B$ и $C$ обозначим как $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны (линейно независимы).

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианами треугольника являются отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Выразим радиус-векторы середин сторон относительно точки $A$:

• $A_1$ — середина $BC$. По правилу параллелограмма (или по формуле деления отрезка пополам), радиус-вектор точки $A_1$ равен $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• $B_1$ — середина $AC$. Ее радиус-вектор: $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $C_1$ — середина $AB$. Ее радиус-вектор: $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$. Так как точка $M$ лежит на медиане $AA_1$, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Значит, существует такое число $x$, что:

$\vec{AM} = x \cdot \vec{AA_1} = x \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c}$

С другой стороны, точка $M$ лежит на отрезке $BB_1$. Следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM}$ можно выразить через радиус-векторы концов отрезка $B$ и $B_1$ по правилу треугольника: $\vec{AM}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AB_1}$ (поскольку M лежит на прямой $BB_1$). Существует такое число $y$, что $M$ делит $BB_1$ в отношении $y:(1-y)$, и тогда:

$\vec{AM} = (1-y)\vec{AB} + y\vec{AB_1} = (1-y)\vec{b} + y(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Так как оба выражения определяют радиус-вектор одной и той же точки $M$, мы можем их приравнять:

$\frac{x}{2}\vec{b} + \frac{x}{2}\vec{c} = (1-y)\vec{b} + \frac{y}{2}\vec{c}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(\frac{x}{2} - (1-y))\vec{b} + (\frac{x}{2} - \frac{y}{2})\vec{c} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ линейно независимы, это равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю. Это дает нам систему уравнений:

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{x}{2} - 1 + x = 0$

$\frac{3x}{2} = 1$

$x = \frac{2}{3}$

Таким образом, $x = y = \frac{2}{3}$.

Значение $x = 2/3$ означает, что $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1}$. Это значит, что точка $M$ лежит на медиане $AA_1$ и делит ее в отношении $AM : MA_1 = 2:1$.

Значение $y = 2/3$ означает, что точка $M$ делит медиану $BB_1$ в отношении $BM : MB_1 = y : (1-y) = \frac{2}{3} : (1-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Радиус-вектор точки пересечения $M$: $\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ также проходит через эту точку. Найдем на медиане $CC_1$ точку $N$, которая делит ее в отношении $CN : NC_1 = 2:1$. Выразим ее радиус-вектор $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AN} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 2 \cdot \vec{AC_1}}{1+2} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + 2\vec{AC_1}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{b})$

Сравнивая радиус-векторы точек $M$ и $N$, видим, что $\vec{AM} = \vec{AN}$. Это означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной и той же точке $M$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: В качестве примера приведено векторное доказательство теоремы о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (которую также называют центром масс или центроидом треугольника), и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

19 Какой отрезок называется средней линией трапеции?

Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины её боковых (непараллельных) сторон.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями (то есть $AD \parallel BC$), а стороны $AB$ и $CD$ — боковыми сторонами. Если точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$ (то есть $AM=MB$), а точка $N$ — серединой боковой стороны $CD$ (то есть $CN=ND$), то отрезок $MN$ и есть средняя линия этой трапеции.

Средняя линия трапеции обладает двумя основными свойствами:

• Она всегда параллельна основаниям трапеции. В нашем примере это означает, что $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.
• Её длина равна полусумме длин оснований. Если обозначить длины оснований как $a$ и $b$, а длину средней линии как $m$, то её можно вычислить по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$

Ответ: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

20 Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Сформулируйте
Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины боковых (непараллельных) сторон трапеции.
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин этих оснований.

Докажите
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда $MN$ — средняя линия трапеции.
Требуется доказать: 1) $MN \parallel AD$ (и $MN \parallel BC$); 2) $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:
1. Проведём прямую через вершину $B$ и точку $N$ до её пересечения с продолжением основания $AD$. Точку пересечения обозначим $E$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.
• $CN = ND$ (по условию, так как $N$ — середина стороны $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $BC \parallel AE$ (так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции). Следовательно, $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).
Таким образом, $\triangle BCN = \triangle EDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ следует равенство их соответствующих сторон: $BC = DE$ и $BN = NE$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.
• $M$ — середина стороны $AB$ (по условию).
• $N$ — середина стороны $BE$ (так как $BN = NE$ по доказанному).
Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.

5. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине.
• $MN \parallel AE$. Так как прямая $AE$ содержит основание $AD$, то $MN \parallel AD$. Поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть теоремы доказана.
• $MN = \frac{1}{2} AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$: $AE = AD + DE$. Так как из пункта 3 мы знаем, что $DE = BC$, то $AE = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для $MN$: $MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы доказана.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований. Если основания трапеции равны $a$ и $b$, то длина средней линии $m$ находится по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$.

988 Докажите, что если векторы m и n сонаправлены, то | m + n | = | m | + | n |, а если m и n противоположно направлены, причём | m | ≥ | n |, то | m + n | = | m | − | n |.

Докажите, что если векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону. Сонаправленность векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ обозначается как $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены, они имеют одинаковое направление. Введем единичный вектор $\vec{e}$, направление которого совпадает с направлением векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Единичный вектор — это вектор, длина (модуль) которого равна единице, то есть $|\vec{e}|=1$.

Любой вектор можно представить как произведение его модуля (длины) на единичный вектор его направления. Таким образом:
$\vec{m} = |\vec{m}| \cdot \vec{e}$
$\vec{n} = |\vec{n}| \cdot \vec{e}$

Найдем сумму векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, подставив их выражения через единичный вектор:
$\vec{m} + \vec{n} = |\vec{m}| \vec{e} + |\vec{n}| \vec{e}$

Используя дистрибутивный закон, вынесем общий векторный множитель $\vec{e}$ за скобки:
$\vec{m} + \vec{n} = (|\vec{m}| + |\vec{n}|) \vec{e}$

Теперь найдем модуль (длину) вектора суммы. Воспользуемся свойством модуля вектора: $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$, где $\lambda$ — скаляр.
В нашем случае скаляр $\lambda = |\vec{m}| + |\vec{n}|$. Так как модули векторов $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$ — это неотрицательные числа, их сумма также неотрицательна. Следовательно, модуль этого скаляра равен самому скаляру: $|(|\vec{m}| + |\vec{n}|)| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$.
Модуль единичного вектора $|\vec{e}|$ равен 1.

Применяя свойство, получаем:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |(|\vec{m}| + |\vec{n}|) \vec{e}| = |(|\vec{m}| + |\vec{n}|)| \cdot |\vec{e}| = (|\vec{m}| + |\vec{n}|) \cdot 1 = |\vec{m}| + |\vec{n}|$

Таким образом, доказано, что если векторы сонаправлены, модуль их суммы равен сумме их модулей.

Ответ: Равенство $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| + |\vec{n}|$ доказано для сонаправленных векторов.

а если $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены, причём $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, то $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, но направлены в противоположные стороны. Обозначим это как $\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$.

Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор, сонаправленный с вектором $\vec{m}$ (вектором большей длины по условию). Тогда вектор $\vec{m}$ можно представить в виде:
$\vec{m} = |\vec{m}| \cdot \vec{e}$

Поскольку вектор $\vec{n}$ направлен в противоположную сторону, единичный вектор в его направлении будет $-\vec{e}$. Следовательно, вектор $\vec{n}$ можно представить в виде:
$\vec{n} = |\vec{n}| \cdot (-\vec{e}) = -|\vec{n}| \vec{e}$

Найдем сумму векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$\vec{m} + \vec{n} = |\vec{m}| \vec{e} + (-|\vec{n}| \vec{e}) = |\vec{m}| \vec{e} - |\vec{n}| \vec{e}$

Вынесем общий векторный множитель $\vec{e}$ за скобки:
$\vec{m} + \vec{n} = (|\vec{m}| - |\vec{n}|) \vec{e}$

Найдем модуль вектора суммы, используя свойство $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| |\vec{v}|$.
В данном случае скаляр $\lambda = |\vec{m}| - |\vec{n}|$. По условию задачи $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$, следовательно, разность $|\vec{m}| - |\vec{n}|$ является неотрицательным числом. Это значит, что модуль этого скаляра равен самому скаляру: $|(|\vec{m}| - |\vec{n}|)| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$.
Модуль единичного вектора $|\vec{e}|$ равен 1.

Следовательно:
$|\vec{m} + \vec{n}| = |(|\vec{m}| - |\vec{n}|) \vec{e}| = |(|\vec{m}| - |\vec{n}|)| \cdot |\vec{e}| = (|\vec{m}| - |\vec{n}|) \cdot 1 = |\vec{m}| - |\vec{n}|$

Таким образом, доказано, что если векторы противоположно направлены и модуль одного не меньше модуля другого, то модуль их суммы равен разности их модулей.

Ответ: Равенство $|\vec{m} + \vec{n}| = |\vec{m}| - |\vec{n}|$ доказано для противоположно направленных векторов при условии $|\vec{m}| \ge |\vec{n}|$.

989 Докажите, что для любых векторов x и у справедливы неравенства | x | − | у | ≤ | x + у | ≤ | x | + | у |.

Данное двойное неравенство, известное как неравенство треугольника, можно доказать, разбив его на две части.

Доказательство правого неравенства $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$

Это классическое неравенство треугольника для векторов. Для его доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Модуль вектора (его длина) всегда неотрицателен, поэтому мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства.

Левая часть в квадрате:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскроем скобки по правилам скалярного произведения:

$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), получаем:

$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Правая часть в квадрате:

$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Теперь исходное неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$ эквивалентно неравенству:

$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 \le |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$, получаем:

$2(\vec{x} \cdot \vec{y}) \le 2|\vec{x}||\vec{y}|$

$\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$

Это неравенство известно как неравенство Коши-Буняковского (или Коши-Шварца). Оно справедливо для любых векторов, поскольку по определению скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Так как значение $\cos\theta$ никогда не превышает 1, то $\vec{x} \cdot \vec{y} \le |\vec{x}||\vec{y}|$ всегда верно. Равенство достигается, когда векторы сонаправлены ($\theta = 0$, $\cos\theta = 1$).

Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство доказано.

Ответ: Правая часть неравенства доказана.

Доказательство левого неравенства $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Для доказательства этой части воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

1. Представим вектор $\vec{x}$ как сумму векторов $(\vec{x} + \vec{y})$ и $(-\vec{y})$.

$\vec{x} = (\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})$

Применим к этому выражению неравенство треугольника:

$|\vec{x}| = |(\vec{x} + \vec{y}) + (-\vec{y})| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |-\vec{y}|$

Так как $|-\vec{y}| = |\vec{y}|$, получаем:

$|\vec{x}| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{y}|$

Перенесем $|\vec{y}|$ в левую часть:

$|\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$ (1)

2. Теперь проделаем аналогичную операцию для вектора $\vec{y}$, представив его как $\vec{y} = (\vec{y} + \vec{x}) + (-\vec{x})$.

$|\vec{y}| = |(\vec{y} + \vec{x}) + (-\vec{x})| \le |\vec{y} + \vec{x}| + |-\vec{x}|$

$|\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{x}|$

Перенесем $|\vec{x}|$ в левую часть:

$|\vec{y}| - |\vec{x}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$-(|\vec{y}| - |\vec{x}|) \ge -|\vec{x} + \vec{y}|$

$|\vec{x}| - |\vec{y}| \ge -|\vec{x} + \vec{y}|$ (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), мы получаем двойное неравенство:

$-|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| - |\vec{y}| \le |\vec{x} + \vec{y}|$

Это в точности соответствует определению модуля числа: если $-A \le z \le A$, то $|z| \le A$. В нашем случае $z = |\vec{x}| - |\vec{y}|$ и $A = |\vec{x} + \vec{y}|$.

Следовательно, $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}|$.

Ответ: Левая часть неравенства доказана.

Таким образом, мы доказали обе части исходного двойного неравенства: $| |\vec{x}| - |\vec{y}| | \le |\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

990 На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b = ВС.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AN}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{AN}$ как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $N$ через точку $B$:

$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$. По условию $\vec{a} = \vec{BA}$, следовательно:
$\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$

2. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление). Это означает, что $\vec{BN} = k \cdot \vec{BC}$, где $k$ — положительный коэффициент, равный отношению длин $BN$ и $BC$.

Из условия задачи нам известно, что $BN = 2NC$.
Длина всего отрезка $BC$ складывается из длин его частей: $BC = BN + NC$.
Заменим $NC$ на $\frac{1}{2}BN$ в этом выражении:
$BC = BN + \frac{1}{2}BN = \frac{3}{2}BN$
Отсюда мы можем найти отношение длины $BN$ к длине $BC$:
$BN = \frac{2}{3}BC$
Так как векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то же соотношение справедливо и для векторов:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{BC}$
Поскольку по условию $\vec{b} = \vec{BC}$, получаем:
$\vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{b}$

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AN} = -\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$