Страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

973 Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что

MN = 12(AD + СВ).

Введем в рассмотрение векторы, соответствующие вершинам четырехугольника $A, B, C, D$, с началом в некоторой произвольной точке $O$: $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$.

Поскольку точка $M$ является серединой диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить как полусумму радиус-векторов точек $A$ и $C$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой диагонали $BD$, ее радиус-вектор $\vec{ON}$ равен:

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через радиус-векторы его конца и начала:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} - \vec{OC})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы сторон четырехугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{OD} - \vec{OA}) + (\vec{OB} - \vec{OC}))$

По определению разности векторов:

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$

Подставив эти выражения в формулу для $\vec{MN}$, получаем:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении векторов, соединяющих середины диагоналей, через радиус-векторы вершин четырехугольника. Вектор $\vec{MN}$ выражается как $\vec{ON} - \vec{OM}$. Так как $M$ и $N$ — середины диагоналей, то $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$ и $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$. Подстановка и преобразование этих выражений приводит к искомой формуле $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$.

974 Отрезки АА₁, ВВ₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА₁, BB₁, СС₁ через векторы а = АС и b = AB.

$\vec{AA_1}$

Поскольку $AA_1$ — медиана, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Вектор медианы, проведенный из вершины $A$, можно найти по правилу нахождения вектора к середине отрезка: он равен полусумме векторов, проведенных из той же вершины к концам отрезка. В нашем случае: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

Подставляя заданные в условии векторы $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{a}$, получаем: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{BB_1}$

Поскольку $BB_1$ — медиана, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Чтобы выразить вектор $\vec{BB_1}$, воспользуемся правилом вычитания векторов. Представим вектор $\vec{BB_1}$ как разность векторов, проведенных из вершины $A$: $\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB}$.

Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Вектор $\vec{AB}$ дан по условию: $\vec{AB} = \vec{b}$.

Подставляя эти выражения в формулу, получаем: $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CC_1}$

Поскольку $CC_1$ — медиана, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{CC_1}$ как разность векторов, проведенных из вершины $A$: $\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC}$.

Так как $C_1$ — середина $AB$, то $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Вектор $\vec{AC}$ дан по условию: $\vec{AC} = \vec{a}$.

Подставляя эти выражения в формулу, получаем: $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

975 Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы а = ED и b = EF.

По условию задачи, $EG$ — медиана треугольника $DEF$, это означает, что точка $G$ является серединой стороны $DF$. Точка $O$ — середина медианы $EG$. Нам необходимо выразить вектор $\vec{DO}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{ED}$ и $\vec{b} = \vec{EF}$.

Для нахождения вектора $\vec{DO}$ воспользуемся свойством вектора, проведенного к середине отрезка. Вектор, проведенный из произвольной точки (в нашем случае $D$) к середине отрезка ($EG$), равен полусумме векторов, проведенных из той же точки $D$ к концам этого отрезка (к точкам $E$ и $G$). Таким образом, имеем:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}(\vec{DE} + \vec{DG})$

Теперь выразим векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DG}$ через данные в условии векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Вектор $\vec{DE}$ противоположен по направлению вектору $\vec{ED}$. По условию $\vec{ED} = \vec{a}$, следовательно:

$\vec{DE} = -\vec{ED} = -\vec{a}$

Поскольку $G$ — середина стороны $DF$, то вектор $\vec{DG}$ равен половине вектора $\vec{DF}$:

$\vec{DG} = \frac{1}{2}\vec{DF}$

Вектор $\vec{DF}$ можно выразить по правилу сложения векторов (правилу треугольника) через векторы $\vec{DE}$ и $\vec{EF}$:

$\vec{DF} = \vec{DE} + \vec{EF}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{DE}$ и $\vec{EF}$:

$\vec{DF} = -\vec{a} + \vec{b}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{DF}$ в формулу для $\vec{DG}$:

$\vec{DG} = \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b})$

Наконец, подставим найденные выражения для векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DG}$ в исходную формулу для $\vec{DO}$:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}(\vec{DE} + \vec{DG}) = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} + \frac{1}{2}(-\vec{a} + \vec{b})\right)$

Упростим полученное выражение, последовательно раскрывая скобки:

$\vec{DO} = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

$\vec{DO} = \frac{1}{2}\left(-\frac{2}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

$\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Ответ: $\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.

976 Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть АА₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Тогда $\overrightarrow{A{A}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),$ $\overrightarrow{B{B}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}),$ $\overrightarrow{C{C}_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$ (см. задачу 1, п. 92). Сложив эти равенства, получим

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов $\overrightarrow{АА₁}, \overrightarrow{BB₁}, \overrightarrow{CC₁}$ по правилу многоугольника (п. 89), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNP на рисунке 305).

Решение

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Для доказательства существования треугольника, стороны которого равны и параллельны этим медианам, воспользуемся векторным методом.

Сначала выразим векторы, соответствующие медианам, через векторы сторон треугольника. Рассмотрим медиану $AA_1$. Вектор $\vec{AA_1}$ можно представить по правилу параллелограмма. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Тогда $D$ — такая точка, что $\vec{AB} = \vec{CD}$ и $\vec{AC} = \vec{BD}$. Диагональ $AD$ этого параллелограмма равна удвоенной медиане $AA_1$, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, а вторая диагональ — это $BC$. По правилу сложения векторов, $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Таким образом, $2\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{AC}$, откуда следует:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Аналогично, выразим векторы для двух других медиан:

$\vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$

$\vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Теперь найдем сумму векторов, соответствующих медианам, сложив эти три равенства:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) + \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем попарно противоположные векторы:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{BC} + \vec{CB}))$

Так как сумма противоположных векторов равна нулевому вектору (например, $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$), то каждая сумма в круглых скобках равна $\vec{0}$.

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}) = \vec{0}$

Мы получили, что сумма векторов медиан треугольника $ABC$ равна нулевому вектору. Это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы из этих векторов можно было составить замкнутую ломаную, то есть треугольник.

Для построения такого треугольника (назовем его $MNP$) возьмем произвольную точку $M$ и отложим от нее последовательно векторы, равные векторам медиан. Например, отложим $\vec{MN} = \vec{AA_1}$, а затем $\vec{NP} = \vec{BB_1}$. Так как сумма трех векторов равна нулю, то вектор, замыкающий ломаную, $\vec{PM}$, будет равен вектору $\vec{CC_1}$.

В полученном треугольнике $MNP$ его стороны по построению будут параллельны и равны по длине медианам треугольника $ABC$: $MN \parallel AA_1, MN = AA_1$; $NP \parallel BB_1, NP = BB_1$; $PM \parallel CC_1, PM = CC_1$. Таким образом, существование искомого треугольника доказано.

Ответ: Доказательство основано на векторном методе. Сумма векторов, соответствующих медианам произвольного треугольника ($\vec{m_a} = \vec{AA_1}$, $\vec{m_b} = \vec{BB_1}$, $\vec{m_c} = \vec{CC_1}$), всегда равна нулевому вектору: $\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{0}$. Это свойство векторов является необходимым и достаточным условием того, что из отрезков, равных по длине и параллельных этим векторам, можно построить треугольник.

977 На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB₁A₂, BCC₁B₂, ACC₂A₁. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{c_1}, \vec{c_2}$ — это радиус-векторы соответствующих точек $A, B, C, A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ относительно произвольного начала координат.

Чтобы доказать, что из отрезков $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$ можно составить треугольник, необходимо и достаточно показать, что сумма векторов, соответствующих этим отрезкам, равна нулевому вектору:$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}$.

Из условия, что $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $ACC_2A_1$ — параллелограммы, следуют векторные равенства (сумма радиус-векторов противоположных вершин равна):
Для параллелограмма $ABB_1A_2$: $\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{a_2}$, откуда $\vec{a_2} - \vec{b_1} = \vec{a} - \vec{b}$.
Для параллелограмма $BCC_1B_2$: $\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{c} + \vec{b_2}$, откуда $\vec{b_2} - \vec{c_1} = \vec{b} - \vec{c}$.
Для параллелограмма $ACC_2A_1$: $\vec{a} + \vec{c_2} = \vec{c} + \vec{a_1}$, откуда $\vec{c_2} - \vec{a_1} = \vec{c} - \vec{a}$.

Теперь найдем сумму искомых векторов. Выразим их через радиус-векторы, перегруппируем слагаемые и подставим полученные выше соотношения:$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = (\vec{a_2} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1}) = $
$= (\vec{a_2} - \vec{b_1}) + (\vec{b_2} - \vec{c_1}) + (\vec{c_2} - \vec{a_1}) = $
$= (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{a}) = $
$= \vec{a} - \vec{b} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{c} - \vec{a} = \vec{0}$.

Поскольку сумма векторов $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ равна нулю, это доказывает, что существует треугольник, стороны которого равны по длине и параллельны данным отрезкам. Если отложить эти векторы последовательно один за другим, начало первого вектора совпадет с концом последнего, образуя замкнутый контур — треугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма векторов $\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$ равна нулевому вектору, следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$.