Номер 973, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 973, страница 242.

973 Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что

MN = 12(AD + СВ).

Введем в рассмотрение векторы, соответствующие вершинам четырехугольника $A, B, C, D$, с началом в некоторой произвольной точке $O$: $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$.

Поскольку точка $M$ является серединой диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить как полусумму радиус-векторов точек $A$ и $C$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой диагонали $BD$, ее радиус-вектор $\vec{ON}$ равен:

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через радиус-векторы его конца и начала:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} - \vec{OC})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы сторон четырехугольника:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{OD} - \vec{OA}) + (\vec{OB} - \vec{OC}))$

По определению разности векторов:

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$

Подставив эти выражения в формулу для $\vec{MN}$, получаем:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении векторов, соединяющих середины диагоналей, через радиус-векторы вершин четырехугольника. Вектор $\vec{MN}$ выражается как $\vec{ON} - \vec{OM}$. Так как $M$ и $N$ — середины диагоналей, то $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$ и $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$. Подстановка и преобразование этих выражений приводит к искомой формуле $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$.