Номер 980, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 980, страница 243.

980 Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.

Сформулируем теорему о средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника.

Нам нужно доказать, что отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и его длина в два раза меньше длины $AC$. В векторной форме это означает, что нам нужно доказать равенство: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} $

Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы, исходящие из вершин треугольника. Используя правило многоугольника (в данном случае, правило треугольника) для сложения векторов, мы можем записать: $ \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN} $

Также можно выразить $\vec{MN}$ по-другому, через путь $M \to B \to N$: $ \vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN} $

Рассмотрим второй способ, так как он проще.

По определению точки $M$ как середины отрезка $AB$, вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$: $ \vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB} $

Аналогично, по определению точки $N$ как середины отрезка $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$: $ \vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC} $

Теперь подставим эти выражения в равенство для вектора $\vec{MN}$: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) $

По правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$: $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

Подставив это в наше выражение для $\vec{MN}$, получаем итоговое равенство: $ \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} $

Из этого векторного равенства следует два утверждения:

1. Так как вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $\frac{1}{2}$, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны (сонаправлены, так как $\frac{1}{2} > 0$). Это означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $AC$.
2. Длина (модуль) вектора $\vec{MN}$ равна половине длины (модуля) вектора $\vec{AC}$: $ |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| $. Это означает, что длина отрезка $MN$ равна половине длины отрезка $AC$.

Таким образом, оба утверждения теоремы доказаны.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника доказана с помощью векторного метода: было показано, что вектор средней линии $\vec{MN}$ равен $\frac{1}{2}\vec{AC}$, где $\vec{AC}$ — вектор третьей стороны, из чего следует как параллельность, так и соотношение длин.