Номер 983, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

983 Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Пусть дан диаметр $AB$ окружности с центром в точке $O$. Пусть $l$ — касательная к этой окружности. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на прямую $l$. По условию, длины этих перпендикуляров равны 18 см и 12 см. То есть, $AA' = 18$ см и $BB' = 12$ см.

Поскольку отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу. Таким образом, фигура $AA'B'B$ является прямоугольной трапецией, где $AA'$ и $BB'$ — параллельные основания, а $AB$ — одна из боковых сторон.

Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Расстояние от центра окружности до касательной к ней равно радиусу $r$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к касательной $l$. Длина этого перпендикуляра $OK$ равна радиусу $r$.

В трапеции $AA'B'B$ отрезок $OK$ параллелен основаниям $AA'$ и $BB'$ и соединяет середину боковой стороны $AB$ с боковой стороной $A'B'$. Следовательно, $OK$ является средней линией трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Таким образом, мы можем найти радиус $r$:

$r = OK = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставив числовые значения, получим:

$r = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Диаметр окружности $d$ в два раза больше радиуса:

$d = 2r = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.