Номер 982, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 92. Применение векторов к решению задач - номер 982, страница 243.

Условие.

982 Сторона AB треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны AB и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ разделена точками $D_1, D_2, D_3$ на четыре равные части, считая от вершины $A$. Это означает, что $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B$. Если обозначить длину отрезка $AD_1$ как $x$, то получим: $AD_1 = x$, $AD_2 = 2x$, $AD_3 = 3x$ и вся сторона $AB = 4x$.

Через точки деления $D_1, D_2, D_3$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть они пересекают сторону $AC$ в точках $E_1, E_2, E_3$ соответственно. Таким образом, на этих прямых образуются три отрезка: $D_1E_1$, $D_2E_2$ и $D_3E_3$.

Рассмотрим треугольники, которые образовались в результате этих построений: $\triangle AD_1E_1, \triangle AD_2E_2, \triangle AD_3E_3$ и исходный $\triangle ABC$.

Поскольку прямая $D_1E_1$ параллельна $BC$, то $\triangle AD_1E_1$ подобен $\triangle ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, $\angle AD_1E_1 = \angle ABC$ как соответственные). Аналогично, $\triangle AD_2E_2 \sim \triangle ABC$ и $\triangle AD_3E_3 \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Отношение длин отрезков, параллельных стороне $BC$, к самой стороне $BC$ будет равно отношению длин отрезков на стороне $AB$ к полной длине $AB$.
Для отрезка $D_1E_1$: $\frac{D_1E_1}{BC} = \frac{AD_1}{AB} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$, откуда $D_1E_1 = \frac{1}{4}BC$.
Для отрезка $D_2E_2$: $\frac{D_2E_2}{BC} = \frac{AD_2}{AB} = \frac{2x}{4x} = \frac{2}{4}$, откуда $D_2E_2 = \frac{2}{4}BC$.
Для отрезка $D_3E_3$: $\frac{D_3E_3}{BC} = \frac{AD_3}{AB} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$, откуда $D_3E_3 = \frac{3}{4}BC$.

Таким образом, длины трех отрезков $D_1E_1$, $D_2E_2$ и $D_3E_3$ относятся как $1:2:3$.

Наименьший из этих отрезков тот, который соответствует наименьшему коэффициенту, то есть $D_1E_1$. По условию задачи, его длина равна 3,4 см.

Теперь можем найти длины двух других отрезков, используя установленное соотношение:
$D_2E_2 = 2 \cdot D_1E_1 = 2 \cdot 3,4 = 6,8$ см.
$D_3E_3 = 3 \cdot D_1E_1 = 3 \cdot 3,4 = 10,2$ см.

Ответ: 6,8 см и 10,2 см.