Номер 984, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 984, страница 243.

984 Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС₁ и DD₁ к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD₁, если СС₁ = 11 см, а CD = 27 см.

Пусть O — центр данной окружности, а $l$ — касательная к ней в точке T.

По условию, $CD$ — это диаметр окружности, и его длина составляет $CD = 27$ см. Центр окружности O является серединой диаметра $CD$. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{CD}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ см.

Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. Проведем из точки O перпендикуляр OT к касательной $l$ (T — точка касания). Длина этого перпендикуляра $OT = R = 13.5$ см.

По условию, из точек C и D проведены перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ к касательной $l$. Это означает, что $CC_1 \perp l$ и $DD_1 \perp l$.

Поскольку прямые $CC_1$, $DD_1$ и $OT$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны между собой: $CC_1 \parallel DD_1 \parallel OT$.

Четырехугольник $CC_1D_1D$ является прямоугольной трапецией с параллельными основаниями $CC_1$ и $DD_1$. (Точки C и D находятся по одну сторону от касательной $l$, так как вся окружность, за исключением точки касания, лежит по одну сторону от нее).

Рассмотрим эту трапецию. Точка O является серединой боковой стороны $CD$. Отрезок $OT$ параллелен основаниям $CC_1$ и $DD_1$ и соединяет середину боковой стороны $CD$ с точкой T на стороне $C_1D_1$. Следовательно, $OT$ является средней линией трапеции $CC_1D_1D$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Запишем это в виде формулы:$OT = \frac{CC_1 + DD_1}{2}$

Нам известны длины $OT = 13.5$ см и $CC_1 = 11$ см. Подставим эти значения в формулу:$13.5 = \frac{11 + DD_1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $DD_1$:$2 \cdot 13.5 = 11 + DD_1$$27 = 11 + DD_1$$DD_1 = 27 - 11$$DD_1 = 16$ см.

Ответ: $16$ см.