Номер 977, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 92. Применение векторов к решению задач - номер 977, страница 242.

Условие.

977 На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB₁A₂, BCC₁B₂, ACC₂A₁. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{c_1}, \vec{c_2}$ — это радиус-векторы соответствующих точек $A, B, C, A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ относительно произвольного начала координат.

Чтобы доказать, что из отрезков $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$ можно составить треугольник, необходимо и достаточно показать, что сумма векторов, соответствующих этим отрезкам, равна нулевому вектору:$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}$.

Из условия, что $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $ACC_2A_1$ — параллелограммы, следуют векторные равенства (сумма радиус-векторов противоположных вершин равна):
Для параллелограмма $ABB_1A_2$: $\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{a_2}$, откуда $\vec{a_2} - \vec{b_1} = \vec{a} - \vec{b}$.
Для параллелограмма $BCC_1B_2$: $\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{c} + \vec{b_2}$, откуда $\vec{b_2} - \vec{c_1} = \vec{b} - \vec{c}$.
Для параллелограмма $ACC_2A_1$: $\vec{a} + \vec{c_2} = \vec{c} + \vec{a_1}$, откуда $\vec{c_2} - \vec{a_1} = \vec{c} - \vec{a}$.

Теперь найдем сумму искомых векторов. Выразим их через радиус-векторы, перегруппируем слагаемые и подставим полученные выше соотношения:$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = (\vec{a_2} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1}) = $
$= (\vec{a_2} - \vec{b_1}) + (\vec{b_2} - \vec{c_1}) + (\vec{c_2} - \vec{a_1}) = $
$= (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{a}) = $
$= \vec{a} - \vec{b} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{c} - \vec{a} = \vec{0}$.

Поскольку сумма векторов $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ равна нулю, это доказывает, что существует треугольник, стороны которого равны по длине и параллельны данным отрезкам. Если отложить эти векторы последовательно один за другим, начало первого вектора совпадет с концом последнего, образуя замкнутый контур — треугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма векторов $\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$ равна нулевому вектору, следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $A_1A_2, B_1B_2$ и $C_1C_2$.