Номер 970, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 970, страница 241.

970 В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и BС = b.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Введем базисные векторы, заданные в условии: $\vec{DC} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Используем свойства векторов в параллелограмме. Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны по длине, следовательно, векторы, построенные на этих сторонах, равны:

$\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}$

Точка $E$ является серединой стороны $AD$. Это означает, что вектор $\vec{ED}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:

$\vec{ED} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Точка $G$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BG}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

---

$\vec{EC}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), представив его как сумму векторов, идущих из точки $E$ в точку $C$ через точку $D$:

$\vec{EC} = \vec{ED} + \vec{DC}$

Теперь подставим известные нам выражения для векторов $\vec{ED}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{a}$

Для удобства поменяем слагаемые местами:

$\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

---

$\vec{AG}$

Аналогично выразим вектор $\vec{AG}$. Представим его как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $G$ через точку $B$:

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG}$

Подставим известные нам выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BG}$:

$\vec{AG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AG} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$