Номер 965, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

92. Применение векторов к решению задач. § 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Глава 10. Векторы - номер 965, страница 241.

965 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают. Постройте векторы m = 2p - 12q, n = p + 3q, l = −2p − 12q, s = 23q − p.

Для решения задачи сначала необходимо начертить на плоскости два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, лежащие на непараллельных прямых. По условию, их начала не должны совпадать.

Далее, для построения каждого из заданных векторов мы будем использовать правило сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма). Наиболее удобным в данном случае является правило треугольника. Оно заключается в том, что для сложения двух векторов второй вектор откладывается от конца первого, а их сумма (результирующий вектор) направлена из начала первого вектора в конец второго.

$\vec{m} = 2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Представим данный вектор как сумму векторов $2\vec{p}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{q})$.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $O_1$ — это будет начало вектора $\vec{m}$.
2. От точки $O_1$ отложим вектор $\vec{O_1A} = 2\vec{p}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{p}$, а его длина в два раза больше длины вектора $\vec{p}$: $|\vec{O_1A}| = 2|\vec{p}|$.
3. От точки $A$ (конца вектора $\vec{O_1A}$) отложим вектор $\vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{q}$. Этот вектор будет противонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина будет равна половине длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{AB}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$.
4. Соединим начальную точку $O_1$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{O_1B}$ и есть искомый вектор $\vec{m}$.

Ответ: Вектор $\vec{m}$ — это вектор, соединяющий начальную точку первого слагаемого ($2\vec{p}$) с конечной точкой второго слагаемого ($-\frac{1}{2}\vec{q}$) при их последовательном откладывании.

$\vec{n} = \vec{p} + 3\vec{q}$

Данный вектор является суммой векторов $\vec{p}$ и $3\vec{q}$.

1. Выберем произвольную точку $O_2$.
2. От точки $O_2$ отложим вектор $\vec{O_2C} = \vec{p}$. Он сонаправлен исходному вектору $\vec{p}$ и равен ему по длине.
3. От точки $C$ отложим вектор $\vec{CD} = 3\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина в три раза больше длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{CD}| = 3|\vec{q}|$.
4. Соединим точку $O_2$ с точкой $D$. Вектор $\vec{O_2D}$ является искомым вектором $\vec{n}$.

Ответ: Вектор $\vec{n}$ построен как замыкающая сторона треугольника, образованного последовательно отложенными векторами $\vec{p}$ и $3\vec{q}$.

$\vec{l} = -2\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$

Представим вектор $\vec{l}$ как сумму векторов $(-2\vec{p})$ и $(-\frac{1}{2}\vec{q})$.

1. Выберем произвольную точку $O_3$.
2. От точки $O_3$ отложим вектор $\vec{O_3E} = -2\vec{p}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{p}$, а его длина вдвое больше длины вектора $\vec{p}$: $|\vec{O_3E}| = 2|\vec{p}|$.
3. От точки $E$ отложим вектор $\vec{EF} = -\frac{1}{2}\vec{q}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{EF}| = \frac{1}{2}|\vec{q}|$.
4. Соединим точку $O_3$ с точкой $F$. Вектор $\vec{O_3F}$ является искомым вектором $\vec{l}$.

Ответ: Вектор $\vec{l}$ построен как сумма векторов $-2\vec{p}$ и $-\frac{1}{2}\vec{q}$ по правилу треугольника.

$\vec{s} = \frac{2}{3}\vec{q} - \vec{p}$

Представим вектор $\vec{s}$ как сумму векторов $\frac{2}{3}\vec{q}$ и $(-\vec{p})$.

1. Выберем произвольную точку $O_4$.
2. От точки $O_4$ отложим вектор $\vec{O_4G} = \frac{2}{3}\vec{q}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{q}$, а его длина составляет две трети от длины вектора $\vec{q}$: $|\vec{O_4G}| = \frac{2}{3}|\vec{q}|$. Для точного построения можно, например, с помощью теоремы Фалеса разделить отрезок, соответствующий вектору $\vec{q}$, на 3 равные части и взять 2 такие части.
3. От точки $G$ отложим вектор $\vec{GH} = -\vec{p}$. Этот вектор противонаправлен вектору $\vec{p}$ и имеет ту же длину: $|\vec{GH}| = |\vec{p}|$.
4. Соединим точку $O_4$ с точкой $H$. Вектор $\vec{O_4H}$ является искомым вектором $\vec{s}$.

Ответ: Вектор $\vec{s}$ построен как замыкающая сторона треугольника, образованного последовательно отложенными векторами $\frac{2}{3}\vec{q}$ и $-\vec{p}$.