Номер 958, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 958, страница 236.

958 Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b, если: а) a = AB, b = ВС; б) a = CB, b = CD; в) a = AB, b = DA.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (в частности, правило треугольника) и свойства векторов в параллелограмме.

Основное правило, которое мы будем применять, — это правило треугольника для сложения векторов. Для треугольника $ABC$, образованного сторонами и диагональю параллелограмма, оно записывается так: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Также мы будем использовать ключевые свойства векторов в параллелограмме $ABCD$:

• Векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
• Вектор, направленный в противоположную сторону, равен исходному вектору со знаком минус: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Теперь рассмотрим каждый подпункт.

а)

По условию нам даны векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$.

Мы хотим выразить вектор $\vec{AC}$. По правилу треугольника, вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов двух смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Подставив данные нам значения, мы сразу получаем искомое выражение:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

б)

По условию даны векторы $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Мы снова используем основную формулу $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Нам нужно выразить векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через заданные $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Найдём вектор $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BC}$ и вектор $\vec{CB}$ являются противоположно направленными, поэтому $\vec{BC} = -\vec{CB}$. Так как по условию $\vec{a} = \vec{CB}$, то $\vec{BC} = -\vec{a}$.

2. Найдём вектор $\vec{AB}$. В параллелограмме противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. В свою очередь, вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{DC} = -\vec{CD}$. По условию $\vec{b} = \vec{CD}$, следовательно, $\vec{DC} = -\vec{b}$. Отсюда получаем, что $\vec{AB} = -\vec{b}$.

3. Теперь подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в формулу для диагонали $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (-\vec{b}) + (-\vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = -\vec{a} - \vec{b}$

в)

По условию даны векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{DA}$.

Снова воспользуемся формулой $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ нам уже дан по условию: $\vec{AB} = \vec{a}$.

2. Найдём вектор $\vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, значит $\vec{AD} = -\vec{DA}$. По условию $\vec{b} = \vec{DA}$, из чего следует, что $\vec{AD} = -\vec{b}$. Таким образом, мы получаем, что $\vec{BC} = -\vec{b}$.

3. Подставим выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в итоговую формулу:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} - \vec{b}$