Номер 959, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 959, страница 236.

959 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = AB и b = AD векторы: DC + CB, ВО + ОС, BO − ОС, BA − DA.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Векторы заданы как $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.
Используем следующие свойства векторов в параллелограмме:
1) Векторы противоположных сторон равны: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
2) Векторы, направленные в противоположную сторону, имеют противоположный знак: $\vec{BA} = -\vec{a}$, $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{b}$.
3) Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам: $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$.

$\vec{DC} + \vec{CB}$

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов, идущих последовательно друг за другом, равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго. Таким образом, $\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$. Вектор диагонали $\vec{DB}$ можно выразить через векторы сторон: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$ и $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{BO} + \vec{OC}$

По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$ равна вектору $\vec{BC}$, так как начало второго вектора ($\vec{OC}$) совпадает с концом первого ($\vec{BO}$): $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$. Следовательно, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{b}$

$\vec{BO} - \vec{OC}$

Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то вектор $\vec{OC}$ равен вектору $\vec{AO}$. Заменим $\vec{OC}$ на $\vec{AO}$ в исходном выражении: $\vec{BO} - \vec{OC} = \vec{BO} - \vec{AO}$. Вычитание вектора $\vec{AO}$ эквивалентно сложению с противоположным ему вектором $\vec{OA}$: $\vec{BO} - \vec{AO} = \vec{BO} + \vec{OA}$. Переставив слагаемые и применив правило треугольника, получаем: $\vec{OA} + \vec{BO} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.
Ответ: $-\vec{a}$

$\vec{BA} - \vec{DA}$

Вычитание вектора $\vec{DA}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{AD}$: $\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} + \vec{AD}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ идут последовательно (конец первого совпадает с началом второго), поэтому по правилу треугольника их сумма равна вектору, соединяющему начало первого (точка B) с концом второго (точка D): $\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$. Теперь выразим вектор диагонали $\vec{BD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$