Номер 953, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 953, страница 236.

953 Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы p = XY + ZX + YZ, q = (XY − XZ) + YZ и r = (ZY − XY) − ZX нулевые.

Доказательство для вектора $\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}$

Для доказательства используем основные свойства операций над векторами. Сначала сгруппируем слагаемые, используя переместительное (коммутативное) свойство сложения векторов:
$\vec{p} = (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX}$

Согласно правилу треугольника (правило Шаля), сумма векторов $\vec{XY}$ и $\vec{YZ}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть вектору $\vec{XZ}$:
$\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$

Теперь подставим полученный результат в выражение для вектора $\vec{p}$:
$\vec{p} = \vec{XZ} + \vec{ZX}$

Векторы $\vec{XZ}$ и $\vec{ZX}$ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что $\vec{ZX} = -\vec{XZ}$. Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору ($\vec{0}$):
$\vec{p} = \vec{XZ} + (-\vec{XZ}) = \vec{XZ} - \vec{XZ} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{p}$ является нулевым.

Доказательство для вектора $\vec{q} = (\vec{XY} - \vec{XZ}) + \vec{YZ}$

Рассмотрим выражение в скобках: $\vec{XY} - \vec{XZ}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (в данном случае точку X), их разность представляет собой вектор, соединяющий конец вычитаемого (Z) с концом уменьшаемого (Y):
$\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$

Подставим это упрощенное выражение обратно в исходную формулу для вектора $\vec{q}$:
$\vec{q} = \vec{ZY} + \vec{YZ}$

Векторы $\vec{ZY}$ и $\vec{YZ}$ являются противоположными, то есть $\vec{ZY} = -\vec{YZ}$. Их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{q} = -\vec{YZ} + \vec{YZ} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{q}$ является нулевым.

Доказательство для вектора $\vec{r} = (\vec{ZY} - \vec{XY}) - \vec{ZX}$

Сначала преобразуем разность векторов в скобках. Вычитание вектора $\vec{XY}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{YX}$:
$\vec{ZY} - \vec{XY} = \vec{ZY} + \vec{YX}$

Теперь, используя переместительное свойство и правило треугольника (правило Шаля), найдем сумму этих векторов:
$\vec{ZY} + \vec{YX} = \vec{YX} + \vec{ZY} = \vec{ZX}$

Подставим полученный результат в исходное выражение для вектора $\vec{r}$:
$\vec{r} = \vec{ZX} - \vec{ZX}$

Разность двух одинаковых векторов всегда равна нулевому вектору:
$\vec{r} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{r}$ является нулевым.