Номер 950, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 950, страница 235.

950 Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) | AB + ВС |; б) | AB + АС |; в) | AB + СB |; г) | ВА − ВС |; д) | АB − АС |.

Дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все внутренние углы равны $60^\circ$.

Следовательно, модули векторов, соответствующих сторонам, равны: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$.

а) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$

Согласно правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, если начало одного вектора совпадает с концом другого, их сумма является вектором, соединяющим начало первого и конец второго. В данном случае, вектор $\vec{AB}$ заканчивается в точке B, а вектор $\vec{BC}$ начинается в точке B. Таким образом, их сумма — это вектор $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Модуль суммы равен модулю (длине) вектора $\vec{AC}$. Так как сторона AC треугольника равна $a$, то:

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$

Ответ: $a$

б) $|\vec{AB} + \vec{AC}|$

Для нахождения модуля суммы двух векторов, исходящих из одной точки, используем формулу, основанную на скалярном произведении. Квадрат модуля суммы векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

В нашем случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной вершины A. Угол между ними — это угол $\angle CAB$, который равен $60^\circ$. Модули векторов $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{AC}| = a$.

Подставляем значения в формулу:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = 2a^2 + 2a^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень, получаем модуль суммы:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

в) $|\vec{AB} + \vec{CB}|$

Заметим, что вектор $\vec{CB}$ является противоположным вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Тогда искомое выражение можно переписать как $|\vec{AB} - \vec{BC}|$.

Для нахождения модуля разности векторов используем формулу:

$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Здесь $\vec{u} = \vec{AB}$ и $\vec{v} = \vec{BC}$. Модули векторов $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$. Угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, если их отложить из одной точки, равен внешнему углу треугольника при вершине B, то есть $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Подставляем значения:

$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно:

$|\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

г) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

По геометрическому определению разности векторов, если векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ выходят из одной точки, то вектор $\vec{u} - \vec{v}$ направлен от конца вектора $\vec{v}$ к концу вектора $\vec{u}$.

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ выходят из одной точки B. Следовательно, их разность $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{BC}$ (точка C) к концу вектора $\vec{BA}$ (точка A). То есть, это вектор $\vec{CA}$.

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине стороны CA:

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$

Ответ: $a$

д) $|\vec{AB} - \vec{AC}|$

Используем то же геометрическое определение разности векторов, что и в предыдущем пункте.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки A. Их разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{AC}$ (точка C) к концу вектора $\vec{AB}$ (точка B). То есть, это вектор $\vec{CB}$.

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Модуль этого вектора равен длине стороны CB:

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = a$

Ответ: $a$