Номер 945, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 945, страница 235.

945 Начертите векторы х, у и z так, чтобы x ↑↑ у, х ↑↓ z. Постройте векторы х + у, у − z, х + z.

Для решения задачи сначала разберем условия и начертим исходные векторы.

Условие $\vec{x} \uparrow \uparrow \vec{y}$ означает, что векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены, то есть они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и направлены в одну и ту же сторону.

Условие $\vec{x} \uparrow \downarrow \vec{z}$ означает, что векторы $\vec{x}$ и $\vec{z}$ противоположно направлены, то есть они коллинеарны, но направлены в противоположные стороны.

Из этих условий следует, что все три вектора, $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$, коллинеарны.

Начертим эти векторы, выбрав для них произвольные длины. Пусть вектор $\vec{x}$ направлен горизонтально вправо и его длина (модуль) $|\vec{x}| = 3$ условные единицы (например, клетки). Тогда вектор $\vec{y}$ также будет направлен вправо, и пусть его длина будет $|\vec{y}| = 2$ единицы. Вектор $\vec{z}$ будет направлен влево, и пусть его длина будет $|\vec{z}| = 4$ единицы.

Теперь выполним построение требуемых векторов.

$\vec{x} + \vec{y}$

Сумма двух сонаправленных векторов — это вектор, сонаправленный с ними, длина которого равна сумме длин исходных векторов. Построение выполняется путем откладывания вектора $\vec{y}$ от конца вектора $\vec{x}$.

Направление результирующего вектора $\vec{a} = \vec{x} + \vec{y}$ совпадает с направлением векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ (вправо).

Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = |\vec{x}| + |\vec{y}| = 3 + 2 = 5$ единиц.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{y}$ сонаправлен с векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$, а его длина равна сумме длин этих векторов.

$\vec{y} - \vec{z}$

Разность векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$ можно представить как сумму вектора $\vec{y}$ и вектора $-\vec{z}$, то есть $\vec{y} - \vec{z} = \vec{y} + (-\vec{z})$. Вектор $-\vec{z}$ имеет ту же длину, что и $\vec{z}$, но направлен в противоположную сторону.

Так как $\vec{z}$ направлен влево, вектор $-\vec{z}$ направлен вправо. Таким образом, мы складываем два сонаправленных вектора: $\vec{y}$ (направлен вправо, $|\vec{y}| = 2$) и $-\vec{z}$ (направлен вправо, $|-\vec{z}| = |\vec{z}| = 4$).

Результирующий вектор $\vec{b} = \vec{y} - \vec{z}$ будет сонаправлен с $\vec{y}$ и $-\vec{z}$ (вправо), а его длина будет равна сумме их длин.

Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = |\vec{y}| + |-\vec{z}| = |\vec{y}| + |\vec{z}| = 2 + 4 = 6$ единиц.

Ответ: Вектор $\vec{y} - \vec{z}$ сонаправлен с вектором $\vec{y}$, а его длина равна сумме длин векторов $\vec{y}$ и $\vec{z}$.

$\vec{x} + \vec{z}$

Сумма двух противоположно направленных векторов — это вектор, который сонаправлен с бо?льшим по модулю вектором, а его длина равна разности длин исходных векторов.

В нашем примере $|\vec{x}| = 3$ и $|\vec{z}| = 4$. Так как $|\vec{z}| > |\vec{x}|$, результирующий вектор $\vec{c} = \vec{x} + \vec{z}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{z}$ (то есть направлен влево).

Длина вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = ||\vec{z}| - |\vec{x}|| = |4 - 3| = 1$ единица.

Ответ: Вектор $\vec{x} + \vec{z}$ направлен в сторону вектора с большей длиной (в нашем примере $\vec{z}$), а его длина равна разности длин векторов $\vec{z}$ и $\vec{x}$.