Номер 952, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 952, страница 235.

952 Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: а) (AB + BC − MC) + (MD − KD); б) (CB + AC + BD) − (MK + KD).

а) Для упрощения выражения $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD})$ воспользуемся правилом многоугольника (правилом Шаля) для сложения векторов и правилом вычитания векторов.

1. Упростим первую скобку $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{MC})$:

По правилу многоугольника, сумма векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Теперь выражение в скобке принимает вид: $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC}$.

Вычитание вектора $\overrightarrow{MC}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $\overrightarrow{CM}$ (так как $-\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CM}$).

Следовательно, $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$.

Снова применяем правило многоугольника: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM}$.

2. Упростим вторую скобку $(\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD})$:

Вычитание вектора $\overrightarrow{KD}$ можно заменить сложением с противоположным вектором $\overrightarrow{DK}$:

$\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}$.

По правилу многоугольника, так как конец вектора $\overrightarrow{MD}$ (точка D) совпадает с началом вектора $\overrightarrow{DK}$ (точка D), их сумма равна $\overrightarrow{MK}$.

3. Сложим полученные результаты:

Исходное выражение равно сумме упрощенных скобок: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK}$.

По правилу многоугольника: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK}$.

Ответ: $\overrightarrow{AK}$.

б) Для упрощения выражения $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) - (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD})$ поступим аналогичным образом.

1. Упростим первую скобку $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$:

Так как сложение векторов коммутативно (порядок не важен), переставим слагаемые для удобства: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}$.

Сложим первые два вектора по правилу многоугольника: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$.

Теперь выражение в скобке выглядит так: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$.

Еще раз применим правило многоугольника: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$.

2. Упростим вторую скобку $(\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD})$:

По правилу многоугольника: $\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MD}$.

3. Вычтем из результата первого действия результат второго:

Получаем выражение: $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{MD}$.

Заменяем вычитание сложением с противоположным вектором: $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$.

Переставим слагаемые для наглядности применения правила многоугольника: $\overrightarrow{DM} + \overrightarrow{AD}$.

Применяем правило: $\overrightarrow{DM} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM}$.

Ответ: $\overrightarrow{AM}$.