Номер 948, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов - номер 948, страница 235.

Условие.

948 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство | х + у | < | х | + | у |.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Данное неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Оно утверждает, что длина вектора суммы двух векторов не превышает сумму их длин: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Равенство достигается только тогда, когда векторы коллинеарны и сонаправлены. Нам нужно доказать строгое неравенство для неколлинеарных векторов.

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$ равносильно неравенству $|\vec{x} + \vec{y}|^2 < (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2$.

Рассмотрим левую часть. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора:$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть. Возведем сумму модулей в квадрат как обычное алгебраическое выражение:$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Теперь сравним преобразованные левую и правую части. Наше неравенство принимает вид:$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 < |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$, получаем:$2(\vec{x} \cdot \vec{y}) < 2|\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

По определению, скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равно $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между этими векторами. Подставим это в наше неравенство:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$

По условию, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ неколлинеарны. Это означает, что они не лежат на одной прямой. Следовательно, угол $\alpha$ между ними не равен $0^\circ$ и не равен $180^\circ$. Поскольку косинус достигает своего максимального значения, равного 1, только при $\alpha = 0^\circ$ (для сонаправленных векторов), для любого другого угла из диапазона $(0^\circ, 180^\circ)$ будет выполняться строгое неравенство $\cos\alpha < 1$.

Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ ненулевые (иначе понятие неколлинеарности не имеет смысла), их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ являются положительными числами. Умножая неравенство $\cos\alpha < 1$ на положительное число $|\vec{x}||\vec{y}|$, получаем:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

Это неравенство, как мы показали ранее, равносильно исходному. Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно является следствием того, что для неколлинеарных векторов угол между ними $\alpha$ таков, что $\cos\alpha < 1$, что приводит к строгому неравенству $\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$, которое после алгебраических преобразований доказывает исходное утверждение.