Номер 948, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 948, страница 235.

948 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство | х + у | < | х | + | у |.

Данное неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Оно утверждает, что длина вектора суммы двух векторов не превышает сумму их длин: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Равенство достигается только тогда, когда векторы коллинеарны и сонаправлены. Нам нужно доказать строгое неравенство для неколлинеарных векторов.

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$ равносильно неравенству $|\vec{x} + \vec{y}|^2 < (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2$.

Рассмотрим левую часть. Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора:$|\vec{x} + \vec{y}|^2 = (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{y} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2$

Теперь рассмотрим правую часть. Возведем сумму модулей в квадрат как обычное алгебраическое выражение:$(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Теперь сравним преобразованные левую и правую части. Наше неравенство принимает вид:$|\vec{x}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + |\vec{y}|^2 < |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$, получаем:$2(\vec{x} \cdot \vec{y}) < 2|\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

По определению, скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равно $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между этими векторами. Подставим это в наше неравенство:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$

По условию, векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ неколлинеарны. Это означает, что они не лежат на одной прямой. Следовательно, угол $\alpha$ между ними не равен $0^\circ$ и не равен $180^\circ$. Поскольку косинус достигает своего максимального значения, равного 1, только при $\alpha = 0^\circ$ (для сонаправленных векторов), для любого другого угла из диапазона $(0^\circ, 180^\circ)$ будет выполняться строгое неравенство $\cos\alpha < 1$.

Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ ненулевые (иначе понятие неколлинеарности не имеет смысла), их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ являются положительными числами. Умножая неравенство $\cos\alpha < 1$ на положительное число $|\vec{x}||\vec{y}|$, получаем:$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha < |\vec{x}||\vec{y}|$$\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$

Это неравенство, как мы показали ранее, равносильно исходному. Таким образом, мы доказали, что для любых двух неколлинеарных векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно является следствием того, что для неколлинеарных векторов угол между ними $\alpha$ таков, что $\cos\alpha < 1$, что приводит к строгому неравенству $\vec{x} \cdot \vec{y} < |\vec{x}||\vec{y}|$, которое после алгебраических преобразований доказывает исходное утверждение.