Номер 949, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 949, страница 235.

949 Докажите, что если A, B, C, и D — произвольные точки, то AB + ВС + CD + DA = 0.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как правило многоугольника или правило Шаля. Согласно этому правилу, для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и будем последовательно применять это правило для сложения векторов.

1. Сначала сложим первые два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго (точка B), их сумма равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

После этого преобразования исходное выражение примет вид:
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

2. Теперь к полученному вектору $\vec{AC}$ прибавим следующий вектор $\vec{CD}$:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Выражение упрощается до:
$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$.

3. На последнем шаге необходимо найти сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, поскольку он имеет ту же длину, но противоположное направление. Следовательно, $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору:
$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{AD} - \vec{AD} = \vec{0}$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$, что и требовалось.

Ответ: Равенство доказано. Геометрически это означает, что если последовательно совершить перемещения по векторам, образующим замкнутый контур (из точки A в B, из B в C, из C в D и обратно в A), то итоговое перемещение будет равно нулю. Алгебраически это доказывается путем последовательного применения правила сложения векторов (правила Шаля), что приводит к сумме двух противоположных векторов, равной нулевому вектору: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$.