Номер 949, страница 235 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов - номер 949, страница 235.

Условие.

949 Докажите, что если A, B, C, и D — произвольные точки, то AB + ВС + CD + DA = 0.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как правило многоугольника или правило Шаля. Согласно этому правилу, для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и будем последовательно применять это правило для сложения векторов.

1. Сначала сложим первые два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как конец первого вектора (точка B) совпадает с началом второго (точка B), их сумма равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

После этого преобразования исходное выражение примет вид:
$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

2. Теперь к полученному вектору $\vec{AC}$ прибавим следующий вектор $\vec{CD}$:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Выражение упрощается до:
$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$.

3. На последнем шаге необходимо найти сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, поскольку он имеет ту же длину, но противоположное направление. Следовательно, $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору:
$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{AD} - \vec{AD} = \vec{0}$.

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$, что и требовалось.

Ответ: Равенство доказано. Геометрически это означает, что если последовательно совершить перемещения по векторам, образующим замкнутый контур (из точки A в B, из B в C, из C в D и обратно в A), то итоговое перемещение будет равно нулю. Алгебраически это доказывается путем последовательного применения правила сложения векторов (правила Шаля), что приводит к сумме двух противоположных векторов, равной нулевому вектору: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$.