Номер 956, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 956, страница 236.

956 Точки М и N — середины сторон AB и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = АМ и b = AN.

По условию задачи даны треугольник $ABC$, точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Введены базисные векторы $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$. Необходимо выразить векторы $\vec{BM}$, $\vec{NC}$, $\vec{MN}$ и $\vec{BN}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BM}$

Точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от $A$ к $B$) и их длины равны ($|AM| = |MB|$). Следовательно, $\vec{MB} = \vec{AM} = \vec{a}$. Вектор $\vec{BM}$ противоположен вектору $\vec{MB}$, поэтому $\vec{BM} = -\vec{MB}$. Подставляя значение для $\vec{MB}$, получаем: $\vec{BM} = -\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BM} = -\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{NC}$

Точка $N$ является серединой отрезка $AC$. По аналогии с предыдущим пунктом, это означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{NC}$ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от $A$ к $C$) и их длины равны ($|AN| = |NC|$). Следовательно, $\vec{NC} = \vec{AN}$. По условию $\vec{AN} = \vec{b}$, значит: $\vec{NC} = \vec{b}$.

Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$

Выражение вектора $\vec{MN}$

Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$, воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Рассмотрим треугольник $AMN$. Вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, идущих из точки $M$ в точку $N$ через точку $A$: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$. Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$, поэтому $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{AN}$ нам дан по условию: $\vec{AN} = \vec{b}$. Подставляем полученные выражения: $\vec{MN} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}$

Выражение вектора $\vec{BN}$

Для нахождения вектора $\vec{BN}$ также применим правило треугольника. Вектор $\vec{BN}$ можно представить как сумму векторов, идущих из точки $B$ в точку $N$ через точку $A$: $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$. Мы знаем, что $\vec{AN} = \vec{b}$. Найдем вектор $\vec{BA}$. Так как $M$ — середина $AB$, то $\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AM} = 2\vec{a}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{a}$. Теперь подставим все в исходное равенство для $\vec{BN}$: $\vec{BN} = -2\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Проверка: Также можно выразить $\vec{BN}$ через сумму векторов $\vec{BM}$ и $\vec{MN}$, которые мы уже нашли: $\vec{BN} = \vec{BM} + \vec{MN} = (-\vec{a}) + (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$