Номер 960, страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Сложение и вычитание векторов. 90. Вычитание векторов. Глава 10. Векторы - номер 960, страница 236.

960 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА + ХС = XB + XD, где X — произвольная точка плоскости.

Для доказательства заданного векторного равенства $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ выполним его преобразование. Перенесем вектор $\vec{XB}$ в левую часть, а вектор $\vec{XC}$ — в правую, изменив их знаки при переносе:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC}$

Теперь воспользуемся правилом разности векторов. Для любых трех точек $O, P, Q$ справедливо тождество $\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$. Применим это правило к обеим частям нашего равенства, считая $X$ общей начальной точкой векторов.

Для левой части равенства получаем: $\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$.

Для правой части равенства получаем: $\vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD}$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно следующему:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Теперь докажем, что это равенство выполняется для любого параллелограмма $ABCD$. Согласно определению параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны. В векторной форме это означает, что вектор, направленный от $A$ к $B$, равен вектору, направленному от $D$ к $C$:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ являются противоположными, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Аналогично, векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ противоположны: $\vec{CD} = -\vec{DC}$.

Из равенства $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $-\vec{AB} = -\vec{DC}$.

Заменяя $-\vec{AB}$ на $\vec{BA}$ и $-\vec{DC}$ на $\vec{CD}$, мы получаем:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Это доказывает, что полученное нами равенство верно для любого параллелограмма. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ справедливо для любой точки $X$ на плоскости.

Ответ: Что и требовалось доказать.