Страница 236 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

953 Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы p = XY + ZX + YZ, q = (XY − XZ) + YZ и r = (ZY − XY) − ZX нулевые.

Доказательство для вектора $\vec{p} = \vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{YZ}$

Для доказательства используем основные свойства операций над векторами. Сначала сгруппируем слагаемые, используя переместительное (коммутативное) свойство сложения векторов:
$\vec{p} = (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZX}$

Согласно правилу треугольника (правило Шаля), сумма векторов $\vec{XY}$ и $\vec{YZ}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть вектору $\vec{XZ}$:
$\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$

Теперь подставим полученный результат в выражение для вектора $\vec{p}$:
$\vec{p} = \vec{XZ} + \vec{ZX}$

Векторы $\vec{XZ}$ и $\vec{ZX}$ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что $\vec{ZX} = -\vec{XZ}$. Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору ($\vec{0}$):
$\vec{p} = \vec{XZ} + (-\vec{XZ}) = \vec{XZ} - \vec{XZ} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{p}$ является нулевым.

Доказательство для вектора $\vec{q} = (\vec{XY} - \vec{XZ}) + \vec{YZ}$

Рассмотрим выражение в скобках: $\vec{XY} - \vec{XZ}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (в данном случае точку X), их разность представляет собой вектор, соединяющий конец вычитаемого (Z) с концом уменьшаемого (Y):
$\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$

Подставим это упрощенное выражение обратно в исходную формулу для вектора $\vec{q}$:
$\vec{q} = \vec{ZY} + \vec{YZ}$

Векторы $\vec{ZY}$ и $\vec{YZ}$ являются противоположными, то есть $\vec{ZY} = -\vec{YZ}$. Их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{q} = -\vec{YZ} + \vec{YZ} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{q}$ является нулевым.

Доказательство для вектора $\vec{r} = (\vec{ZY} - \vec{XY}) - \vec{ZX}$

Сначала преобразуем разность векторов в скобках. Вычитание вектора $\vec{XY}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{YX}$:
$\vec{ZY} - \vec{XY} = \vec{ZY} + \vec{YX}$

Теперь, используя переместительное свойство и правило треугольника (правило Шаля), найдем сумму этих векторов:
$\vec{ZY} + \vec{YX} = \vec{YX} + \vec{ZY} = \vec{ZX}$

Подставим полученный результат в исходное выражение для вектора $\vec{r}$:
$\vec{r} = \vec{ZX} - \vec{ZX}$

Разность двух одинаковых векторов всегда равна нулевому вектору:
$\vec{r} = \vec{0}$

Ответ: Вектор $\vec{r}$ является нулевым.

954 На рисунке 297 изображены векторы $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{XY}.$ Представьте вектор $\overrightarrow{XY}$ в виде суммы остальных или им противоположных векторов.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{XY}$ через другие векторы, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов. Согласно этому правилу, если векторы отложены последовательно один за другим так, что начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего, то их сумма является вектором, который соединяет начало первого вектора с концом последнего.

На рисунке мы видим, что из точки $X$ выходит вектор $\vec{a}$, за которым следует вектор $\vec{b}$, затем вектор $\vec{c}$ и, наконец, вектор $\vec{d}$, который заканчивается в точке $Y$. Таким образом, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ образуют непрерывную ломаную линию от точки $X$ до точки $Y$.

Вектор $\vec{XY}$ — это вектор, проведенный из начальной точки всей последовательности ($X$) в конечную точку ($Y$). Следовательно, он является суммой векторов, составляющих эту последовательность.

Математически это можно записать следующим образом:

$\vec{XY} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$

Ответ: $\vec{XY} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$

955 Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а = AB и b = АС следующие векторы: а) ВА; б) СВ; в) СВ + ВА.

Решение

а) Векторы ВА и AB — противоположные, поэтому ВА = −AB, или ВА = −a.

б) По правилу треугольника СВ = СА + AB. Но СА = −АС, поэтому

а) Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ имеют одинаковую длину (модуль), но противоположные направления. Такие векторы называются противоположными. Вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, обозначается как $-\vec{v}$.
Следовательно, можно записать равенство: $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
По условию задачи $\vec{AB} = \vec{a}$, поэтому, подставив это значение, получаем:
$\vec{BA} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BA} = -\vec{a}$.

б) Для выражения вектора $\vec{CB}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим вектор $\vec{CB}$ как сумму двух векторов, идущих из точки C в A и из A в B:
$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
По условию нам даны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{b}$.
Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -\vec{b}$.
Теперь подставим известные выражения для векторов в нашу формулу:
$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

в) Сумму векторов $\vec{CB} + \vec{BA}$ можно найти двумя способами.
Способ 1: Использование правила сложения векторов (правило Шаля).
По этому правилу, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого к концу второго. В нашем случае конец вектора $\vec{CB}$ (точка B) совпадает с началом вектора $\vec{BA}$ (точка B).
Следовательно, $\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$.
Как мы установили в пункте б), $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{b}$, то $\vec{CA} = -\vec{b}$.
Способ 2: Использование результатов из пунктов а) и б).
Из пункта а) мы знаем, что $\vec{BA} = -\vec{a}$.
Из пункта б) мы знаем, что $\vec{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Сложим эти два вектора:
$\vec{CB} + \vec{BA} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} = -\vec{b}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\vec{CB} + \vec{BA} = -\vec{b}$.

956 Точки М и N — середины сторон AB и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = АМ и b = AN.

По условию задачи даны треугольник $ABC$, точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Введены базисные векторы $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$. Необходимо выразить векторы $\vec{BM}$, $\vec{NC}$, $\vec{MN}$ и $\vec{BN}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BM}$

Точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MB}$ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от $A$ к $B$) и их длины равны ($|AM| = |MB|$). Следовательно, $\vec{MB} = \vec{AM} = \vec{a}$. Вектор $\vec{BM}$ противоположен вектору $\vec{MB}$, поэтому $\vec{BM} = -\vec{MB}$. Подставляя значение для $\vec{MB}$, получаем: $\vec{BM} = -\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BM} = -\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{NC}$

Точка $N$ является серединой отрезка $AC$. По аналогии с предыдущим пунктом, это означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{NC}$ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от $A$ к $C$) и их длины равны ($|AN| = |NC|$). Следовательно, $\vec{NC} = \vec{AN}$. По условию $\vec{AN} = \vec{b}$, значит: $\vec{NC} = \vec{b}$.

Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$

Выражение вектора $\vec{MN}$

Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$, воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Рассмотрим треугольник $AMN$. Вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, идущих из точки $M$ в точку $N$ через точку $A$: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$. Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$, поэтому $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{AN}$ нам дан по условию: $\vec{AN} = \vec{b}$. Подставляем полученные выражения: $\vec{MN} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}$

Выражение вектора $\vec{BN}$

Для нахождения вектора $\vec{BN}$ также применим правило треугольника. Вектор $\vec{BN}$ можно представить как сумму векторов, идущих из точки $B$ в точку $N$ через точку $A$: $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$. Мы знаем, что $\vec{AN} = \vec{b}$. Найдем вектор $\vec{BA}$. Так как $M$ — середина $AB$, то $\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AM} = 2\vec{a}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{a}$. Теперь подставим все в исходное равенство для $\vec{BN}$: $\vec{BN} = -2\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Проверка: Также можно выразить $\vec{BN}$ через сумму векторов $\vec{BM}$ и $\vec{MN}$, которые мы уже нашли: $\vec{BN} = \vec{BM} + \vec{MN} = (-\vec{a}) + (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$

957 Отрезок ВВ₁ — медиана треугольника ABC. Выразите векторы В₁С, BB₁, ВА, ВС через x = AB₁ и у = AB.

По условию задачи, отрезок $BB_1$ является медианой треугольника $ABC$. Это означает, что точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Также даны векторы $\vec{x} = \vec{AB_1}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$. Выразим требуемые векторы через $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

$\vec{B_1C}$
Поскольку $B_1$ — середина отрезка $AC$, то векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{B_1C}$ равны, так как они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны ($|AB_1| = |B_1C|$). Следовательно, $\vec{B_1C} = \vec{AB_1}$. Так как по условию $\vec{AB_1} = \vec{x}$, получаем: $\vec{B_1C} = \vec{x}$.
Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{x}$.

$\vec{BB_1}$
Рассмотрим треугольник $ABB_1$. По правилу треугольника для сложения векторов имеем: $\vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{y}$, значит $\vec{BA} = -\vec{y}$. Вектор $\vec{AB_1}$ по условию равен $\vec{x}$. Подставляем полученные выражения в формулу: $\vec{BB_1} = -\vec{y} + \vec{x} = \vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\vec{BB_1} = \vec{x} - \vec{y}$.

$\vec{BA}$
Вектор $\vec{BA}$ имеет те же начало и конец, что и вектор $\vec{AB}$, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{y}$, поэтому: $\vec{BA} = -\vec{y}$.
Ответ: $\vec{BA} = -\vec{y}$.

$\vec{BC}$
Рассмотрим треугольник $ABC$. По правилу треугольника для сложения векторов: $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$. Мы уже нашли, что $\vec{BA} = -\vec{y}$. Поскольку $B_1$ — середина $AC$, то вектор $\vec{AC}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AB_1}$ и сонаправлен с ним: $\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB_1}$. По условию $\vec{AB_1} = \vec{x}$, значит $\vec{AC} = 2\vec{x}$. Подставляем полученные выражения в формулу для $\vec{BC}$: $\vec{BC} = -\vec{y} + 2\vec{x} = 2\vec{x} - \vec{y}$.
Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{x} - \vec{y}$.

958 Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b, если: а) a = AB, b = ВС; б) a = CB, b = CD; в) a = AB, b = DA.

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (в частности, правило треугольника) и свойства векторов в параллелограмме.

Основное правило, которое мы будем применять, — это правило треугольника для сложения векторов. Для треугольника $ABC$, образованного сторонами и диагональю параллелограмма, оно записывается так: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Также мы будем использовать ключевые свойства векторов в параллелограмме $ABCD$:

• Векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
• Вектор, направленный в противоположную сторону, равен исходному вектору со знаком минус: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Теперь рассмотрим каждый подпункт.

а)

По условию нам даны векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$.

Мы хотим выразить вектор $\vec{AC}$. По правилу треугольника, вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов двух смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Подставив данные нам значения, мы сразу получаем искомое выражение:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

б)

По условию даны векторы $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Мы снова используем основную формулу $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Нам нужно выразить векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через заданные $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Найдём вектор $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BC}$ и вектор $\vec{CB}$ являются противоположно направленными, поэтому $\vec{BC} = -\vec{CB}$. Так как по условию $\vec{a} = \vec{CB}$, то $\vec{BC} = -\vec{a}$.

2. Найдём вектор $\vec{AB}$. В параллелограмме противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. В свою очередь, вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{DC} = -\vec{CD}$. По условию $\vec{b} = \vec{CD}$, следовательно, $\vec{DC} = -\vec{b}$. Отсюда получаем, что $\vec{AB} = -\vec{b}$.

3. Теперь подставим найденные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в формулу для диагонали $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (-\vec{b}) + (-\vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = -\vec{a} - \vec{b}$

в)

По условию даны векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{DA}$.

Снова воспользуемся формулой $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

1. Вектор $\vec{AB}$ нам уже дан по условию: $\vec{AB} = \vec{a}$.

2. Найдём вектор $\vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{AD}$ противоположен вектору $\vec{DA}$, значит $\vec{AD} = -\vec{DA}$. По условию $\vec{b} = \vec{DA}$, из чего следует, что $\vec{AD} = -\vec{b}$. Таким образом, мы получаем, что $\vec{BC} = -\vec{b}$.

3. Подставим выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ в итоговую формулу:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} - \vec{b}$

959 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = AB и b = AD векторы: DC + CB, ВО + ОС, BO − ОС, BA − DA.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Векторы заданы как $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.
Используем следующие свойства векторов в параллелограмме:
1) Векторы противоположных сторон равны: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
2) Векторы, направленные в противоположную сторону, имеют противоположный знак: $\vec{BA} = -\vec{a}$, $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{b}$.
3) Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам: $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$.

$\vec{DC} + \vec{CB}$

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов, идущих последовательно друг за другом, равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго. Таким образом, $\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$. Вектор диагонали $\vec{DB}$ можно выразить через векторы сторон: $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Поскольку $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$ и $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{BO} + \vec{OC}$

По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$ равна вектору $\vec{BC}$, так как начало второго вектора ($\vec{OC}$) совпадает с концом первого ($\vec{BO}$): $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$. Следовательно, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{b}$

$\vec{BO} - \vec{OC}$

Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то вектор $\vec{OC}$ равен вектору $\vec{AO}$. Заменим $\vec{OC}$ на $\vec{AO}$ в исходном выражении: $\vec{BO} - \vec{OC} = \vec{BO} - \vec{AO}$. Вычитание вектора $\vec{AO}$ эквивалентно сложению с противоположным ему вектором $\vec{OA}$: $\vec{BO} - \vec{AO} = \vec{BO} + \vec{OA}$. Переставив слагаемые и применив правило треугольника, получаем: $\vec{OA} + \vec{BO} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.
Ответ: $-\vec{a}$

$\vec{BA} - \vec{DA}$

Вычитание вектора $\vec{DA}$ равносильно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{AD}$: $\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} + \vec{AD}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ идут последовательно (конец первого совпадает с началом второго), поэтому по правилу треугольника их сумма равна вектору, соединяющему начало первого (точка B) с концом второго (точка D): $\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$. Теперь выразим вектор диагонали $\vec{BD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$

960 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА + ХС = XB + XD, где X — произвольная точка плоскости.

Для доказательства заданного векторного равенства $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ выполним его преобразование. Перенесем вектор $\vec{XB}$ в левую часть, а вектор $\vec{XC}$ — в правую, изменив их знаки при переносе:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC}$

Теперь воспользуемся правилом разности векторов. Для любых трех точек $O, P, Q$ справедливо тождество $\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$. Применим это правило к обеим частям нашего равенства, считая $X$ общей начальной точкой векторов.

Для левой части равенства получаем: $\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$.

Для правой части равенства получаем: $\vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD}$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно следующему:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Теперь докажем, что это равенство выполняется для любого параллелограмма $ABCD$. Согласно определению параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны. В векторной форме это означает, что вектор, направленный от $A$ к $B$, равен вектору, направленному от $D$ к $C$:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ являются противоположными, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Аналогично, векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ противоположны: $\vec{CD} = -\vec{DC}$.

Из равенства $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $-\vec{AB} = -\vec{DC}$.

Заменяя $-\vec{AB}$ на $\vec{BA}$ и $-\vec{DC}$ на $\vec{CD}$, мы получаем:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Это доказывает, что полученное нами равенство верно для любого параллелограмма. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ справедливо для любой точки $X$ на плоскости.

Ответ: Что и требовалось доказать.

961 Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство | х − у | ≤ | х | + | у |. В каком случае | х − у | = | х | + | у |?

Докажите, что для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\le|\vec{x}|+|\vec{y}|$

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Для его доказательства возведем обе части в квадрат. Поскольку модуль вектора (его длина) является неотрицательной величиной, это преобразование является равносильным, то есть не меняет истинность неравенства.

Квадрат левой части:
$|\vec{x}-\vec{y}|^2 = (\vec{x}-\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y})$ (по определению модуля вектора через скалярное произведение).
Раскрывая скобки, получаем:
$(\vec{x}-\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y}) = \vec{x}\cdot\vec{x} - \vec{x}\cdot\vec{y} - \vec{y}\cdot\vec{x} + \vec{y}\cdot\vec{y} = |\vec{x}|^2 - 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + |\vec{y}|^2$.

Квадрат правой части:
$(|\vec{x}|+|\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$.

Теперь сравним квадраты обеих частей. Исходное неравенство равносильно следующему:
$|\vec{x}|^2 - 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + |\vec{y}|^2 \le |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{x}|^2$ и $|\vec{y}|^2$:
$-2(\vec{x}\cdot\vec{y}) \le 2|\vec{x}||\vec{y}|$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$\vec{x}\cdot\vec{y} \ge -|\vec{x}||\vec{y}|$

Вспомним определение скалярного произведения через угол между векторами: $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.
Подставим это выражение в неравенство:
$|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha \ge -|\vec{x}||\vec{y}|$

Если хотя бы один из векторов нулевой, то его модуль равен нулю, и неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Если оба вектора ненулевые, то их модули $|\vec{x}|$ и $|\vec{y}|$ — положительные числа, и мы можем разделить обе части на произведение $|\vec{x}||\vec{y}|$, не меняя знака неравенства:
$\cos\alpha \ge -1$

Это неравенство верно для любого угла $\alpha$, так как по определению функции косинуса ее значения всегда находятся в диапазоне от -1 до 1.
Поскольку мы пришли к верному утверждению через цепь равносильных преобразований, исходное неравенство $|\vec{x}-\vec{y}|\le|\vec{x}|+|\vec{y}|$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

В каком случае $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$?

Равенство достигается тогда, когда все неравенства в приведенном выше доказательстве обращаются в равенства. Единственным таким местом является неравенство $\cos\alpha \ge -1$.
Следовательно, равенство $|\vec{x}-\vec{y}|=|\vec{x}|+|\vec{y}|$ будет выполняться тогда и только тогда, когда:
$\cos\alpha = -1$

Это равенство справедливо в следующих случаях:

1. Хотя бы один из векторов, $\vec{x}$ или $\vec{y}$, является нулевым вектором. Если, например, $\vec{y} = \vec{0}$, то $|\vec{x}-\vec{0}|=|\vec{x}|+|\vec{0}|$, что упрощается до верного равенства $|\vec{x}|=|\vec{x}|$. В этом случае понятие угла между векторами не определено, но исходное равенство выполняется.

2. Оба вектора ненулевые. В этом случае равенство $\cos\alpha = -1$ означает, что угол $\alpha$ между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Такие векторы называются противоположно направленными (или антипараллельными). Это значит, что они лежат на одной прямой (или параллельных прямых) и смотрят в противоположные стороны. Например, $\vec{y} = k \cdot \vec{x}$ при $k < 0$.

Геометрически равенство означает, что точка начала одного вектора совпадает с точкой конца другого, и они лежат на одной прямой. Если отложить векторы $\vec{x}$ и $-\vec{y}$ от одной точки, они будут сонаправлены. Длина их суммы $|\vec{x} + (-\vec{y})|$ будет равна сумме их длин $|\vec{x}| + |-\vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|$.

Ответ: Равенство выполняется, если векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ противоположно направлены, или если хотя бы один из этих векторов является нулевым.

962 Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью 33 м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист?

Движение парашютиста является результатом сложения двух скоростей: вертикальной скорости спуска и горизонтальной скорости, вызванной ветром. Эти скорости перпендикулярны друг другу.

Обозначим вертикальную скорость как $v_в$, а горизонтальную — как $v_г$. По условию задачи:

$v_в = 3$ м/с

$v_г = 3\sqrt{3}$ м/с

Результирующая скорость $\vec{v}$ является векторной суммой этих двух скоростей. Векторы $\vec{v_в}$, $\vec{v_г}$ и $\vec{v}$ образуют прямоугольный треугольник, где $v_в$ и $v_г$ — катеты, а $v$ — гипотенуза.

Угол $\alpha$, который нам нужно найти, — это угол между направлением спуска (вектором результирующей скорости $\vec{v}$) и вертикалью (направлением вектора $\vec{v_в}$). В нашем прямоугольном треугольнике скоростей:

• $v_в$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$.
• $v_г$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

$tg(\alpha) = \frac{v_г}{v_в}$

Подставим известные значения скоростей в эту формулу:

$tg(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Теперь найдем угол $\alpha$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы тригонометрических функций известно, что этому значению соответствует угол $60^\circ$.

$\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$

Ответ: парашютист спускается под углом $60^\circ$ к вертикали.