Страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

930 Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные.
В каком случае полученные векторы равны?

а) имеющие равные длины и неколлинеарные
Чтобы начертить два неколлинеарных вектора с равными длинами, необходимо изобразить два направленных отрезка (стрелки) одинаковой длины так, чтобы они не лежали на одной прямой или на параллельных прямых.
Например, начертим вектор $\vec{a}$ и вектор $\vec{b}$. Длина (модуль) этих векторов должна быть одинаковой, что записывается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. При этом они должны быть направлены под углом друг к другу, который не равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Например, один вектор может быть направлен горизонтально, а другой — под углом $45^\circ$ к горизонтали, при условии, что их нарисованные длины равны.
Ответ: Начерчены два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ такие, что их длины равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), а сами векторы не коллинеарны.

б) имеющие равные длины и сонаправленные
Чтобы начертить два сонаправленных вектора с равными длинами, необходимо изобразить два направленных отрезка одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой) и указывают в одном и том же направлении.
Пусть у нас есть векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Условие их сонаправленности обозначается как $\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{d}$. Условие равенства их длин: $|\vec{c}| = |\vec{d}|$. Визуально это будут две параллельные стрелки одинаковой длины, смотрящие в одну сторону.
Ответ: Начерчены два вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$ такие, что их длины равны ($|\vec{c}| = |\vec{d}|$) и они сонаправлены ($\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{d}$).

в) имеющие равные длины и противоположно направленные
Чтобы начертить два противоположно направленных вектора с равными длинами, необходимо изобразить два направленных отрезка одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но указывают в противоположных направлениях.
Пусть у нас есть векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Условие их противоположной направленности обозначается как $\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$. Условие равенства их длин: $|\vec{m}| = |\vec{n}|$. Визуально это будут две параллельные стрелки одинаковой длины, смотрящие в разные стороны. Такие векторы также называют противоположными ($\vec{m} = -\vec{n}$).
Ответ: Начерчены два вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ такие, что их длины равны ($|\vec{m}| = |\vec{n}|$) и они противоположно направлены ($\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$).

В каком случае полученные векторы равны?
Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Векторы сонаправлены.
2. Длины (модули) векторов равны.
Проанализируем рассмотренные случаи:
В случае а) векторы имеют равные длины, но не являются сонаправленными (они неколлинеарны). Следовательно, они не равны.
В случае б) векторы имеют равные длины и сонаправлены. Оба условия равенства векторов выполняются. Следовательно, в этом случае векторы равны.
В случае в) векторы имеют равные длины, но они не сонаправлены, а противоположно направлены. Следовательно, они не равны.
Ответ: Полученные векторы равны в случае б), когда они имеют равные длины и сонаправлены.

931 Начертите ненулевой вектор a и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, равные а.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги. Сначала на плоскости нужно начертить произвольный ненулевой вектор $\vec{a}$. Ненулевой вектор — это направленный отрезок, у которого начальная и конечная точки не совпадают. Он характеризуется длиной (модулем) и направлением.

Затем на той же плоскости нужно произвольно отметить три точки: A, B и C.

После этого от каждой из этих точек следует отложить вектор, равный вектору $\vec{a}$. Чтобы отложить вектор от точки, например, от точки A, нужно найти такую точку A', чтобы вектор $\vec{AA'}$ был равен вектору $\vec{a}$. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону) и их длины равны.

Таким образом, мы строим вектор $\vec{AA'}$ с началом в точке A, который параллелен вектору $\vec{a}$, имеет такую же длину, как у $\vec{a}$, и направлен в ту же сторону. Это действие геометрически эквивалентно параллельному переносу точки A на вектор $\vec{a}$, в результате которого получается точка A'.

Аналогичные действия выполняются для точек B и C. Мы находим точки B' и C' так, чтобы выполнялись равенства $\vec{BB'} = \vec{a}$ и $\vec{CC'} = \vec{a}$.

В результате мы получим три вектора $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$ и $\vec{CC'}$. Все они будут равны исходному вектору $\vec{a}$ и, следовательно, равны между собой: $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{a}$.

Ниже представлен графический пример выполнения данного построения.

Ответ: Для выполнения задания необходимо начертить произвольный ненулевой вектор $\vec{a}$ и три произвольные точки A, B, C. Затем от каждой из точек (A, B, C) нужно построить вектор, который будет сонаправлен вектору $\vec{a}$ и равен ему по длине. Это достигается путем нахождения конечных точек векторов (A', B', C') так, чтобы выполнялись равенства $\vec{AA'} = \vec{a}$, $\vec{BB'} = \vec{a}$ и $\vec{CC'} = \vec{a}$. В результате все три построенных вектора будут равны исходному вектору $\vec{a}$.

932 Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?

Для ответа на вопрос необходимо различать скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью определяются своим числовым значением (модулем). Векторные величины, помимо модуля, характеризуются также направлением в пространстве. Проанализируем каждую величину из представленного списка.

Скорость. Эта величина характеризует быстроту и направление движения тела. Поскольку для полного определения скорости необходимо знать как её числовое значение (например, 60 км/ч), так и направление (например, на восток), она является векторной. Вектор скорости обозначают как $\vec{v}$.
Ответ: скорость является векторной величиной.

Масса. Это мера инертности тела или количества вещества в нём. Масса характеризуется только числовым значением (например, 50 кг) и не имеет направления.
Ответ: масса является скалярной величиной.

Сила. Это мера воздействия на тело, в результате которого оно изменяет свою скорость или деформируется. У силы всегда есть не только величина (модуль), но и направление действия. Например, сила тяжести направлена вертикально вниз к центру Земли. Вектор силы обозначают как $\vec{F}$.
Ответ: сила является векторной величиной.

Время. Эта величина характеризует длительность процессов. Время определяется исключительно числовым значением (например, 10 секунд) и не имеет пространственного направления.
Ответ: время является скалярной величиной.

Температура. Это мера средней кинетической энергии частиц тела. Температура описывается только числовым значением (например, 25 °C) и не имеет направления.
Ответ: температура является скалярной величиной.

Длина. Это числовая характеристика протяженности объекта или расстояния. Длина является скалярной величиной, так как имеет только модуль (например, 3 метра). Её не следует путать с вектором перемещения, который определяет изменение положения тела и имеет направление.
Ответ: длина является скалярной величиной.

Площадь. Это величина, характеризующая размер поверхности. В базовом определении площадь является скаляром (например, 12 м?). Стоит отметить, что в некоторых разделах физики (например, в электродинамике) площадь рассматривают как вектор, направленный перпендикулярно поверхности, но в общем контексте это скалярная величина.
Ответ: площадь является скалярной величиной.

Работа. Механическая работа является мерой энергии, переданной телу. Она вычисляется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{s}$: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$. Результат скалярного произведения двух векторов — это скаляр. Таким образом, работа имеет только числовое значение и не имеет направления.
Ответ: работа является скалярной величиной.

933 В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, ВС = 4 см, точка М — середина стороны AB. Найдите длины векторов AB, ВС, DС, МС, МА, СВ, АС.

По условию задачи дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Длина вектора (или его модуль) равна длине отрезка, который он представляет. Обозначение длины вектора $\vec{a}$ — это $|\vec{a}|$.

$\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$ прямоугольника.
$|\vec{AB}| = AB = 3$ см.
Ответ: 3 см.

$\vec{BC}$

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$ прямоугольника.
$|\vec{BC}| = BC = 4$ см.
Ответ: 4 см.

$\vec{DC}$

Длина вектора $\vec{DC}$ равна длине стороны $DC$. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB$.
$|\vec{DC}| = DC = AB = 3$ см.
Ответ: 3 см.

$\vec{MC}$

Чтобы найти длину вектора $\vec{MC}$, рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$, так как в прямоугольнике все углы прямые, в том числе $\angle B = 90^\circ$.
Катет $BC$ равен 4 см.
Точка $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, длина катета $MB$ равна половине длины стороны $AB$:
$MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MC$:
$|\vec{MC}| = MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{(1,5)^2 + 4^2} = \sqrt{2,25 + 16} = \sqrt{18,25}$ см.
Значение можно оставить в виде корня или представить в виде дроби: $18,25 = \frac{1825}{100} = \frac{73}{4}$, тогда $|\vec{MC}| = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.
Ответ: $\sqrt{18,25}$ см (или $\frac{\sqrt{73}}{2}$ см).

$\vec{MA}$

Длина вектора $\vec{MA}$ равна длине отрезка $MA$. Так как $M$ — середина $AB$:
$|\vec{MA}| = MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см.
Ответ: 1,5 см.

$\vec{CB}$

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине отрезка $CB$.
$|\vec{CB}| = CB = BC = 4$ см.
Ответ: 4 см.

$\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$ прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$.
Катеты $AB = 3$ см и $BC = 4$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$|\vec{AC}| = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

934 Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и АС.

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с прямым углом $A$. По условию, основание $AD = 12$ см, боковая сторона $AB = 5$ см, и угол $\angle D = 45^\circ$. Длина вектора равна длине отрезка, который он представляет. Следовательно, нам нужно найти длины отрезков $BD$, $CD$ и $AC$.

Для решения задачи опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная с $\angle A = 90^\circ$, то $AB$ является ее высотой, и $AB \perp AD$. Следовательно, $CH$ также перпендикулярна $AD$ и $CH = AB = 5$ см. Четырехугольник $ABCH$ — прямоугольник, поэтому $BC = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). По условию $\angle D = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $CHD$ — равнобедренный, и $HD = CH = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AH$: $AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см. Так как $BC = AH$, то длина меньшего основания $BC = 7$ см.

Теперь, зная все необходимые размеры, можем вычислить длины искомых векторов.

Длина вектора $\vec{BD}$

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (так как $\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$. Подставим известные значения: $BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Отсюда $BD = \sqrt{169} = 13$ см.
Ответ: 13 см.

Длина вектора $\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине боковой стороны $CD$. Мы можем найти ее из прямоугольного равнобедренного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора: $CD^2 = CH^2 + HD^2$. Подставим значения: $CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Отсюда $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

Длина вектора $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Для ее вычисления рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, образованный высотой $CH$ и отрезком $AH$ на большем основании. По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Подставим найденные нами значения: $AC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$. Отсюда $AC = \sqrt{74}$ см.
Ответ: $\sqrt{74}$ см.

935 Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Для решения этой задачи вспомним определения. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают сонаправленными (если их направления совпадают, обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположно направленными (если их направления противоположны, обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

а) параллелограмма MNPQ

В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны. Пусть вершины M, N, P, Q расположены последовательно. Тогда сторона MN параллельна стороне QP ($MN \parallel QP$), а сторона NP параллельна стороне MQ ($NP \parallel MQ$). Векторы, лежащие на параллельных прямых, коллинеарны.

1. Рассмотрим пару параллельных сторон MN и QP. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{MN}$, $\vec{NM}$, $\vec{QP}$, $\vec{PQ}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\uparrow \vec{QP}$ и $\vec{NM} \uparrow\uparrow \vec{PQ}$. Это векторы, которые имеют одинаковое направление и длину.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\downarrow \vec{PQ}$ и $\vec{NM} \uparrow\downarrow \vec{QP}$. Эти векторы параллельны, но направлены в разные стороны.

2. Рассмотрим пару параллельных сторон NP и MQ. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{NP}$, $\vec{PN}$, $\vec{MQ}$, $\vec{QM}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\uparrow \vec{MQ}$ и $\vec{PN} \uparrow\uparrow \vec{QM}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\downarrow \vec{QM}$ и $\vec{PN} \uparrow\downarrow \vec{MQ}$.

Ответ:
Пары коллинеарных векторов:
- Сонаправленные: $(\vec{MN}, \vec{QP})$; $(\vec{NM}, \vec{PQ})$; $(\vec{NP}, \vec{MQ})$; $(\vec{PN}, \vec{QM})$.
- Противоположно направленные: $(\vec{MN}, \vec{PQ})$; $(\vec{NM}, \vec{QP})$; $(\vec{NP}, \vec{QM})$; $(\vec{PN}, \vec{MQ})$.

б) трапеции ABCD с основаниями AD и BC

В трапеции по определению только одна пара сторон параллельна — это её основания. В данном случае основаниями являются AD и BC, следовательно, $AD \parallel BC$. Боковые стороны AB и CD не параллельны. Таким образом, коллинеарные векторы могут быть определены только сторонами AD и BC.

Векторы, лежащие на основаниях: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.
- Пары сонаправленных векторов (при стандартном обходе вершин A-B-C-D): $\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC}$ и $\vec{DA} \uparrow\uparrow \vec{CB}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}$ и $\vec{DA} \uparrow\downarrow \vec{BC}$.

Ответ:
Коллинеарные векторы определяются только основаниями AD и BC.
- Сонаправленные пары: $(\vec{AD}, \vec{BC})$; $(\vec{DA}, \vec{CB})$.
- Противоположно направленные пары: $(\vec{AD}, \vec{CB})$; $(\vec{DA}, \vec{BC})$.

в) треугольника FGH

В треугольнике никакие две стороны не могут быть параллельны. Если бы две стороны, например FG и GH, были параллельны, то, имея общую точку G, они бы лежали на одной прямой. В этом случае точки F, G и H были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольник. Поскольку у треугольника нет параллельных сторон, то нет и пар коллинеарных векторов, которые определяются его разными сторонами.

Ответ:
В треугольнике FGH нет пар коллинеарных векторов, определяемых его сторонами.

936 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) AB и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи воспользуемся определением равных векторов. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Два вектора сонаправлены, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$

1. Направление: По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая $AB$ параллельна прямой $DC$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ — от $D$ к $C$. В параллелограмме $ABCD$ эти направления совпадают. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены.
2. Длина: По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$. Это означает, что длины векторов равны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

б) $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$

1. Направление: Стороны $BC$ и $DA$ параллельны, значит, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$ коллинеарны. Однако вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\overrightarrow{DA}$ — от $D$ к $A$. Эти направления противоположны.
2. Длина: Длины сторон $BC$ и $DA$ равны, поэтому $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|$.
Несмотря на то, что длины векторов равны, они не равны, так как они противоположно направлены. Такие векторы называются противоположными: $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$.
Ответ: нет, векторы не равны.

в) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$

1. Направление: Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Вектор $\overrightarrow{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{OC}$ — от $O$ к $C$. Оба вектора направлены в одну сторону вдоль прямой $AC$. Следовательно, они сонаправлены.
2. Длина: По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Значит, $O$ — середина диагонали $AC$, и длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Таким образом, $|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{OC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$.

г) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$

1. Направление: Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ лежат на диагоналях параллелограмма. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются, следовательно, они не параллельны (за исключением вырожденного случая, когда все точки лежат на одной прямой). Так как векторы лежат на непараллельных прямых, они не коллинеарны, а значит, не могут быть сонаправлены.
Поскольку одно из условий равенства векторов (сонаправленность) не выполняется, векторы не равны. Стоит также отметить, что в общем случае длины диагоналей параллелограмма не равны, то есть $|\overrightarrow{AC}| \neq |\overrightarrow{BD}|$.
Ответ: нет, векторы не равны.

937 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: а) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и KМ; д) TL и KT?

Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой), сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по длине (имеют одинаковый модуль). Рассмотрим каждый случай для равнобедренной трапеции MNLK. Из условия, что S и T — середины боковых сторон MN и LK, следует, что основаниями трапеции являются стороны ML и NK (т.е. $ML \parallel NK$), а MN и LK — боковые стороны. Так как трапеция равнобедренная, то длины боковых сторон равны: $MN = LK$.

а) $\overrightarrow{NL}$ и $\overrightarrow{KL}$

Векторы $\overrightarrow{NL}$ и $\overrightarrow{KL}$ имеют общий конец в точке L. Вектор $\overrightarrow{NL}$ лежит на прямой NL, которая является диагональю трапеции. Вектор $\overrightarrow{KL}$ лежит на прямой KL, которая является боковой стороной трапеции. Прямые NL и KL не параллельны, так как пересекаются в точке L под углом, не равным $180^\circ$. Следовательно, векторы не являются коллинеарными, а значит, не могут быть равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

б) $\overrightarrow{MS}$ и $\overrightarrow{SN}$

По условию, точка S является серединой отрезка MN. Это означает, что точка S делит отрезок MN на два равных по длине отрезка, то есть $MS = SN$.
1. Длины векторов: Модуль вектора $\overrightarrow{MS}$ равен длине отрезка MS, а модуль вектора $\overrightarrow{SN}$ равен длине отрезка SN. Так как $MS = SN$, то $|\overrightarrow{MS}| = |\overrightarrow{SN}|$.
2. Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{MS}$ направлен от точки M к точке S. Вектор $\overrightarrow{SN}$ направлен от точки S к точке N. Поскольку точки M, S и N лежат на одной прямой в указанном порядке, направления векторов совпадают.
Так как векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны.

Ответ: Да, векторы равны.

в) $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KL}$

Стороны MN и LK являются боковыми сторонами трапеции.
1. Длины векторов: Поскольку трапеция MNLK равнобедренная, длины её боковых сторон равны: $MN = LK$. Модуль вектора $\overrightarrow{MN}$ равен $MN$, а модуль вектора $\overrightarrow{KL}$ равен $KL$. Так как $KL = LK$, то $|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{KL}|$.
2. Направление векторов: Векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KL}$ лежат на прямых MN и KL соответственно. По определению трапеции, её боковые стороны не параллельны. Следовательно, векторы не коллинеарны и не могут быть равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

г) $\overrightarrow{TS}$ и $\overrightarrow{KM}$

Отрезок ST, соединяющий середины боковых сторон MN и LK, является средней линией трапеции. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции, то есть $ST \parallel ML \parallel NK$. Вектор $\overrightarrow{TS}$ лежит на прямой ST.
Отрезок KM является диагональю трапеции. В общем случае (если трапеция не является параллелограммом), диагональ не параллельна основаниям. Таким образом, прямая KM не параллельна прямой ST.
Поскольку векторы $\overrightarrow{TS}$ и $\overrightarrow{KM}$ лежат на непараллельных прямых, они не коллинеарны и, следовательно, не равны.

Ответ: Нет, векторы не равны.

д) $\overrightarrow{TL}$ и $\overrightarrow{KT}$

По условию, точка T является серединой отрезка LK. Это означает, что точка T делит отрезок LK на два равных по длине отрезка: $LT = TK$.
1. Длины векторов: Модуль вектора $\overrightarrow{TL}$ равен длине отрезка TL, а модуль вектора $\overrightarrow{KT}$ равен длине отрезка KT. Так как $TL = LT$ и $KT=TK$, а $LT=TK$, то $|\overrightarrow{TL}| = |\overrightarrow{KT}|$.
2. Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{TL}$ направлен от точки T к точке L. Вектор $\overrightarrow{KT}$ направлен от точки K к точке T. Точки K, T, L лежат на одной прямой. Так как T — середина отрезка LK, порядок точек на прямой — K, T, L (или L, T, K). В обоих случаях движение от K к T и от T к L происходит в одном и том же направлении вдоль прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{KT}$ и $\overrightarrow{TL}$ сонаправлены.
Поскольку векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны.

Ответ: Да, векторы равны.

938 Докажите, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то AB = CD.

Доказательство: если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают.

Введем на плоскости или в пространстве некоторую точку $O$ в качестве начала отсчета. Положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{r}_X = \vec{OX}$.

Пусть точки $A, B, C, D$ заданы своими радиус-векторами $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ можно выразить через радиус-векторы их начальных и конечных точек:
$\vec{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$
$\vec{CD} = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Согласно условию, $\vec{AB} = \vec{CD}$. Запишем это равенство в терминах радиус-векторов:
$\vec{r}_B - \vec{r}_A = \vec{r}_D - \vec{r}_C$

Перегруппируем члены этого равенства, чтобы в каждой части оказались векторы, соответствующие одному отрезку ($AD$ и $BC$):
$\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$

Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, и $N$ — середина отрезка $BC$. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Следовательно, радиус-векторы точек $M$ и $N$ определяются как:
$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$
$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Из равенства $\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$, разделив обе части на 2, получаем:
$\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$
Это означает, что $\vec{r}_M = \vec{r}_N$.

Так как радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны, эти точки совпадают. Следовательно, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство обратного утверждения: если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Для доказательства используем те же векторные обозначения. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$, и $N$ — середина отрезка $BC$. Их радиус-векторы:
$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2}$
$\vec{r}_N = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

По условию, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то есть точка $M$ совпадает с точкой $N$. Это эквивалентно равенству их радиус-векторов:
$\vec{r}_M = \vec{r}_N$
Следовательно:
$\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$

Умножим обе части равенства на 2:
$\vec{r}_A + \vec{r}_D = \vec{r}_B + \vec{r}_C$

Теперь перегруппируем члены равенства, чтобы получить выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\vec{r}_D - \vec{r}_C = \vec{r}_B - \vec{r}_A$

По определению, разность радиус-векторов $\vec{r}_B - \vec{r}_A$ есть вектор $\vec{AB}$, а разность $\vec{r}_D - \vec{r}_C$ есть вектор $\vec{CD}$. Подставив это в полученное равенство, имеем:
$\vec{CD} = \vec{AB}$
что эквивалентно
$\vec{AB} = \vec{CD}$

Таким образом, доказано, что равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ является следствием совпадения середин отрезков $AD$ и $BC$.

Ответ: Обратное утверждение доказано.

939 Определите вид четырёхугольника ABCD, если: а) AB = DC и | AB | = | ВС |; б) AB ↑↑ DC, а векторы AD и ВС не коллинеарны.

а)

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Нам даны два условия: $1) \vec{AB} = \vec{DC}$ и $2) |\vec{AB}| = |\vec{BC}|$.

Из первого условия $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны. Равенство векторов означает, что они коллинеарны, сонаправлены и их длины (модули) равны.

Коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).

Равенство их длин означает, что $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Теперь используем второе условие: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$. Это означает, что длины двух смежных сторон параллелограмма ($AB$ и $BC$) равны.

Параллелограмм, у которого все стороны равны (или смежные стороны равны), является ромбом.

Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ — это ромб.

Ответ: ромб.

б)

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Нам даны два условия: $1) \vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$ и $2)$ векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны.

Из первого условия $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$ следует, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Сонаправленные векторы всегда коллинеарны, что означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны. То есть, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$).

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, является трапецией. Параллельные стороны называются основаниями.

Второе условие гласит, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны. Это означает, что прямые $AD$ и $BC$ не параллельны.

Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ есть одна пара параллельных сторон ($AB$ и $DC$) и одна пара непараллельных сторон ($AD$ и $BC$). По определению, такой четырёхугольник является трапецией.

Ответ: трапеция.

940 Верно ли утверждение: а) если а = b, то а ↑↑ b; б) если а = b, то a и b коллинеарны; в) если а = b, то а ↑↓ b; г) если а ↑↑ b, то а = b; д) если а = 0, то a ↑↑ b?

а) По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, если они сонаправлены и их длины равны. Следовательно, если $\vec{a} = \vec{b}$, то они обязательно сонаправлены, то есть $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Утверждение верно. Ответ: Верно.

б) Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Любые сонаправленные векторы являются коллинеарными. Из пункта а) следует, что если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Значит, они также и коллинеарны. Утверждение верно. Ответ: Верно.

в) Равенство векторов $\vec{a} = \vec{b}$ означает, что они сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Обозначение $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$ означает, что векторы направлены в противоположные стороны. Для ненулевых векторов эти два условия (сонаправленность и противоположная направленность) не могут выполняться одновременно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно.

г) Сонаправленность векторов ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) является лишь одним из двух условий для их равенства. Второе условие — равенство длин ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$). Если это второе условие не выполнено, векторы не будут равны. Например, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}=2\vec{a}$ (для $\vec{a} \neq \vec{0}$) сонаправлены, но не равны, так как их длины различны. Утверждение неверно. Ответ: Неверно.

д) Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет длину 0 и неопределенное направление. По соглашению в математике, нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору $\vec{b}$. Это следует из того, что $\vec{0} = k \cdot \vec{b}$ при $k=0$. Так как коэффициент $k=0$ является неотрицательным ($k \ge 0$), то нулевой вектор по определению считается сонаправленным любому вектору. Утверждение верно. Ответ: Верно.