Номер 934, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки - номер 934, страница 229.

Условие.

934 Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и АС.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с прямым углом $A$. По условию, основание $AD = 12$ см, боковая сторона $AB = 5$ см, и угол $\angle D = 45^\circ$. Длина вектора равна длине отрезка, который он представляет. Следовательно, нам нужно найти длины отрезков $BD$, $CD$ и $AC$.

Для решения задачи опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная с $\angle A = 90^\circ$, то $AB$ является ее высотой, и $AB \perp AD$. Следовательно, $CH$ также перпендикулярна $AD$ и $CH = AB = 5$ см. Четырехугольник $ABCH$ — прямоугольник, поэтому $BC = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). По условию $\angle D = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $CHD$ — равнобедренный, и $HD = CH = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AH$: $AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см. Так как $BC = AH$, то длина меньшего основания $BC = 7$ см.

Теперь, зная все необходимые размеры, можем вычислить длины искомых векторов.

Длина вектора $\vec{BD}$

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (так как $\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$. Подставим известные значения: $BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Отсюда $BD = \sqrt{169} = 13$ см.
Ответ: 13 см.

Длина вектора $\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине боковой стороны $CD$. Мы можем найти ее из прямоугольного равнобедренного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора: $CD^2 = CH^2 + HD^2$. Подставим значения: $CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Отсюда $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

Длина вектора $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Для ее вычисления рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, образованный высотой $CH$ и отрезком $AH$ на большем основании. По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Подставим найденные нами значения: $AC^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$. Отсюда $AC = \sqrt{74}$ см.
Ответ: $\sqrt{74}$ см.