Номер 935, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки - номер 935, страница 229.

Условие.

935 Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения этой задачи вспомним определения. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают сонаправленными (если их направления совпадают, обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположно направленными (если их направления противоположны, обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

а) параллелограмма MNPQ

В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны. Пусть вершины M, N, P, Q расположены последовательно. Тогда сторона MN параллельна стороне QP ($MN \parallel QP$), а сторона NP параллельна стороне MQ ($NP \parallel MQ$). Векторы, лежащие на параллельных прямых, коллинеарны.

1. Рассмотрим пару параллельных сторон MN и QP. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{MN}$, $\vec{NM}$, $\vec{QP}$, $\vec{PQ}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\uparrow \vec{QP}$ и $\vec{NM} \uparrow\uparrow \vec{PQ}$. Это векторы, которые имеют одинаковое направление и длину.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\downarrow \vec{PQ}$ и $\vec{NM} \uparrow\downarrow \vec{QP}$. Эти векторы параллельны, но направлены в разные стороны.

2. Рассмотрим пару параллельных сторон NP и MQ. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{NP}$, $\vec{PN}$, $\vec{MQ}$, $\vec{QM}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\uparrow \vec{MQ}$ и $\vec{PN} \uparrow\uparrow \vec{QM}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\downarrow \vec{QM}$ и $\vec{PN} \uparrow\downarrow \vec{MQ}$.

Ответ:
Пары коллинеарных векторов:
- Сонаправленные: $(\vec{MN}, \vec{QP})$; $(\vec{NM}, \vec{PQ})$; $(\vec{NP}, \vec{MQ})$; $(\vec{PN}, \vec{QM})$.
- Противоположно направленные: $(\vec{MN}, \vec{PQ})$; $(\vec{NM}, \vec{QP})$; $(\vec{NP}, \vec{QM})$; $(\vec{PN}, \vec{MQ})$.

б) трапеции ABCD с основаниями AD и BC

В трапеции по определению только одна пара сторон параллельна — это её основания. В данном случае основаниями являются AD и BC, следовательно, $AD \parallel BC$. Боковые стороны AB и CD не параллельны. Таким образом, коллинеарные векторы могут быть определены только сторонами AD и BC.

Векторы, лежащие на основаниях: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.
- Пары сонаправленных векторов (при стандартном обходе вершин A-B-C-D): $\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC}$ и $\vec{DA} \uparrow\uparrow \vec{CB}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}$ и $\vec{DA} \uparrow\downarrow \vec{BC}$.

Ответ:
Коллинеарные векторы определяются только основаниями AD и BC.
- Сонаправленные пары: $(\vec{AD}, \vec{BC})$; $(\vec{DA}, \vec{CB})$.
- Противоположно направленные пары: $(\vec{AD}, \vec{CB})$; $(\vec{DA}, \vec{BC})$.

в) треугольника FGH

В треугольнике никакие две стороны не могут быть параллельны. Если бы две стороны, например FG и GH, были параллельны, то, имея общую точку G, они бы лежали на одной прямой. В этом случае точки F, G и H были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольник. Поскольку у треугольника нет параллельных сторон, то нет и пар коллинеарных векторов, которые определяются его разными сторонами.

Ответ:
В треугольнике FGH нет пар коллинеарных векторов, определяемых его сторонами.