Номер 935, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

935 Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Для решения этой задачи вспомним определения. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают сонаправленными (если их направления совпадают, обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) и противоположно направленными (если их направления противоположны, обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

а) параллелограмма MNPQ

В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны. Пусть вершины M, N, P, Q расположены последовательно. Тогда сторона MN параллельна стороне QP ($MN \parallel QP$), а сторона NP параллельна стороне MQ ($NP \parallel MQ$). Векторы, лежащие на параллельных прямых, коллинеарны.

1. Рассмотрим пару параллельных сторон MN и QP. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{MN}$, $\vec{NM}$, $\vec{QP}$, $\vec{PQ}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\uparrow \vec{QP}$ и $\vec{NM} \uparrow\uparrow \vec{PQ}$. Это векторы, которые имеют одинаковое направление и длину.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{MN} \uparrow\downarrow \vec{PQ}$ и $\vec{NM} \uparrow\downarrow \vec{QP}$. Эти векторы параллельны, но направлены в разные стороны.

2. Рассмотрим пару параллельных сторон NP и MQ. Векторы, определяемые этими сторонами: $\vec{NP}$, $\vec{PN}$, $\vec{MQ}$, $\vec{QM}$.
- Пары сонаправленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\uparrow \vec{MQ}$ и $\vec{PN} \uparrow\uparrow \vec{QM}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{NP} \uparrow\downarrow \vec{QM}$ и $\vec{PN} \uparrow\downarrow \vec{MQ}$.

Ответ:
Пары коллинеарных векторов:
- Сонаправленные: $(\vec{MN}, \vec{QP})$; $(\vec{NM}, \vec{PQ})$; $(\vec{NP}, \vec{MQ})$; $(\vec{PN}, \vec{QM})$.
- Противоположно направленные: $(\vec{MN}, \vec{PQ})$; $(\vec{NM}, \vec{QP})$; $(\vec{NP}, \vec{QM})$; $(\vec{PN}, \vec{MQ})$.

б) трапеции ABCD с основаниями AD и BC

В трапеции по определению только одна пара сторон параллельна — это её основания. В данном случае основаниями являются AD и BC, следовательно, $AD \parallel BC$. Боковые стороны AB и CD не параллельны. Таким образом, коллинеарные векторы могут быть определены только сторонами AD и BC.

Векторы, лежащие на основаниях: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.
- Пары сонаправленных векторов (при стандартном обходе вершин A-B-C-D): $\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC}$ и $\vec{DA} \uparrow\uparrow \vec{CB}$.
- Пары противоположно направленных векторов: $\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}$ и $\vec{DA} \uparrow\downarrow \vec{BC}$.

Ответ:
Коллинеарные векторы определяются только основаниями AD и BC.
- Сонаправленные пары: $(\vec{AD}, \vec{BC})$; $(\vec{DA}, \vec{CB})$.
- Противоположно направленные пары: $(\vec{AD}, \vec{CB})$; $(\vec{DA}, \vec{BC})$.

в) треугольника FGH

В треугольнике никакие две стороны не могут быть параллельны. Если бы две стороны, например FG и GH, были параллельны, то, имея общую точку G, они бы лежали на одной прямой. В этом случае точки F, G и H были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольник. Поскольку у треугольника нет параллельных сторон, то нет и пар коллинеарных векторов, которые определяются его разными сторонами.

Ответ:
В треугольнике FGH нет пар коллинеарных векторов, определяемых его сторонами.