Номер 936, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки. Глава 10. Векторы - номер 936, страница 229.

936 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) AB и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи воспользуемся определением равных векторов. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Два вектора сонаправлены, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$

1. Направление: По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая $AB$ параллельна прямой $DC$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ — от $D$ к $C$. В параллелограмме $ABCD$ эти направления совпадают. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены.
2. Длина: По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$. Это означает, что длины векторов равны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

б) $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$

1. Направление: Стороны $BC$ и $DA$ параллельны, значит, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$ коллинеарны. Однако вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\overrightarrow{DA}$ — от $D$ к $A$. Эти направления противоположны.
2. Длина: Длины сторон $BC$ и $DA$ равны, поэтому $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|$.
Несмотря на то, что длины векторов равны, они не равны, так как они противоположно направлены. Такие векторы называются противоположными: $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$.
Ответ: нет, векторы не равны.

в) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$

1. Направление: Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Вектор $\overrightarrow{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{OC}$ — от $O$ к $C$. Оба вектора направлены в одну сторону вдоль прямой $AC$. Следовательно, они сонаправлены.
2. Длина: По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Значит, $O$ — середина диагонали $AC$, и длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Таким образом, $|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{OC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$.

г) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$

1. Направление: Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ лежат на диагоналях параллелограмма. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются, следовательно, они не параллельны (за исключением вырожденного случая, когда все точки лежат на одной прямой). Так как векторы лежат на непараллельных прямых, они не коллинеарны, а значит, не могут быть сонаправлены.
Поскольку одно из условий равенства векторов (сонаправленность) не выполняется, векторы не равны. Стоит также отметить, что в общем случае длины диагоналей параллелограмма не равны, то есть $|\overrightarrow{AC}| \neq |\overrightarrow{BD}|$.
Ответ: нет, векторы не равны.