Номер 936, страница 229 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Векторы. Параграф 1. Понятие вектора. 86. Откладывание вектора от данной точки - номер 936, страница 229.

Условие.

936 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) AB и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся определением равных векторов. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Два вектора сонаправлены, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$

1. Направление: По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая $AB$ параллельна прямой $DC$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ — от $D$ к $C$. В параллелограмме $ABCD$ эти направления совпадают. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены.
2. Длина: По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $AB = DC$. Это означает, что длины векторов равны: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

б) $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$

1. Направление: Стороны $BC$ и $DA$ параллельны, значит, векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$ коллинеарны. Однако вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\overrightarrow{DA}$ — от $D$ к $A$. Эти направления противоположны.
2. Длина: Длины сторон $BC$ и $DA$ равны, поэтому $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|$.
Несмотря на то, что длины векторов равны, они не равны, так как они противоположно направлены. Такие векторы называются противоположными: $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$.
Ответ: нет, векторы не равны.

в) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$

1. Направление: Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Вектор $\overrightarrow{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{OC}$ — от $O$ к $C$. Оба вектора направлены в одну сторону вдоль прямой $AC$. Следовательно, они сонаправлены.
2. Длина: По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Значит, $O$ — середина диагонали $AC$, и длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Таким образом, $|\overrightarrow{AO}| = |\overrightarrow{OC}|$.
Так как векторы сонаправлены и их длины равны, они равны.
Ответ: да, векторы равны, так как $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$.

г) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$

1. Направление: Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ лежат на диагоналях параллелограмма. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются, следовательно, они не параллельны (за исключением вырожденного случая, когда все точки лежат на одной прямой). Так как векторы лежат на непараллельных прямых, они не коллинеарны, а значит, не могут быть сонаправлены.
Поскольку одно из условий равенства векторов (сонаправленность) не выполняется, векторы не равны. Стоит также отметить, что в общем случае длины диагоналей параллелограмма не равны, то есть $|\overrightarrow{AC}| \neq |\overrightarrow{BD}|$.
Ответ: нет, векторы не равны.